前一單元學習到矩陣乘法有意義 須滿足前一個矩陣的行數 等於後一個矩陣的列數 矩陣A的行數必須等於矩陣B的列數 矩陣AB才有意義 如圖所示 得到m乘以n階的矩陣C 對於任何兩實數x y而言 x乘以y等於y乘以x 此性質稱為實數乘法交換律 即兩個實數相乘 交換位置求得的積不變 如圖所示可知 左邊圈圈數可寫成2乘以3 而右邊圈圈數可寫成3乘以2 顯然兩邊圈圈數相等 現在我們關心 矩陣的乘法是否也滿足交換律呢 一般而言矩陣的乘法不具交換律 然而也有滿足交換律的情形 若矩陣的乘法滿足交換律 則兩矩陣有何必要條件呢 底下就來說明 考慮A為m乘以p階矩陣 且B為p乘以n階矩陣 滿足交換律時 由矩陣乘法定義可知 m等於n等於p 故矩陣的乘法滿足交換律的必要條件就是 A與B必須是同階方陣 說明矩陣的乘法不滿足交換律的兩種原因 當AB有意義時 BA不一定有意義 例如 給定A為3乘以2階矩陣 且B為2乘以5階矩陣 得到AB為3乘以5階矩陣 因為A為3乘以2階矩陣 且B為2乘以5階矩陣 矩陣B的行數5不等於矩陣A的列數3 所以BA沒有意義 當AB與BA都有意義時 兩者也不一定相等 例如 設A等於矩陣0 1 0 0 B等於矩陣1 0 0 0 矩陣AB相乘後得到矩陣0 0 0 0 矩陣BA相乘後得到矩陣0 1 0 0 故AB不等於BA 注意在一些特殊的情況下 AB與BA也可能相等 例如 A等於矩陣3 2 0 1 B等於矩陣1 0 0 1 則矩陣AB相乘後得到矩陣3 2 0 1 且矩陣BA相乘後得到矩陣3 2 0 1 故AB等於BA 已經瞭解了矩陣乘法不具交換律 即AB不一定等於BA 底下例子是不滿足交換律的例子 練習看看 同學們試著找一找矩陣乘法 滿足交換律的例子 找到例子了嗎 也思考一下 怎樣的兩個矩陣相乘會滿足交換律呢 現在來練習矩陣乘法滿足交換律的例子 解答 因為AB等於BA 所以AB等於矩陣3 2 1 k 乘以矩陣1 2 1 3 等於矩陣1 2 1 3 乘以矩陣3 2 1 k 等於BA 推得矩陣5 12 1+k 2+3k 等於矩陣5 2+k 6 2+3k 故12等於2加2k 且1加k等於6 因此k等於5 怎樣的兩個同階方陣相乘 會滿足交換律呢 底下介紹五種 當A與B其中一個是零矩陣時 因為AB等於零矩陣等於BA 所以AB等於BA 當A等於B時 因為AB等於AA等於BA 所以AB等於BA 當A等於B的n次方時 因為AB等於B的n次方乘B 等於B的n加1次方 且BA等於B乘以B的n次方 等於B的n加1次方 所以AB等於BA 當A為單位方陣I時 AB等於IB等於B等於BI等於BA 單位方陣I的特徵為 矩陣中左上到右下的對角線 稱之為主對角線上的元均為1 主對角線外的元均為0 其中二階單位方陣為I 等於矩陣1 0 0 1 及三階單位方陣為I 等於矩陣1 0 0 0 1 0 0 0 1 例如 設A等於矩陣1 0 0 1 B等於矩陣1 2 3 4 則矩陣AB相乘後得到矩陣1 2 3 4 等於B 以及矩陣BA相乘後得到矩陣1 2 3 4 等於B 故AB等於BA 當矩陣A與B均為對角方陣時 AB等於BA 我們常見的單位方陣及零方陣 均為對角方陣 而對角方陣的特徵為 主對角線外的元均為0 主對角線上的元可以是0或其他數 例如 矩陣0 矩陣1 0 0 2 矩陣1 0 0 0 2 0 0 0 0 均為對角方陣 例如 設A等於矩陣1 0 0 2 B等於矩陣3 0 0 4 則矩陣AB相乘後得到矩陣3 0 0 8 及矩陣BA相乘後得到矩陣3 0 0 8 由此例子可得到一個有趣的結果 對角方陣的乘積仍為對角方陣 且它們的乘積是滿足交換律 一般而言矩陣的乘法不具交換律 除了一些較特別的情況 這裡列出五種特別的情況 在後面單元學到反方陣時 會學習到另一種特別的情況 事實上還有一些特別的情況 等到大學學習線性代數再學 矩陣這單元學習到舉一些反例 同學們要多加練習 這可加速理解整個矩陣理論 非常重要的