前一單元學習到矩陣乘法的交換律 這單元學習結合律 先探討實數乘法的結合律 再探討矩陣乘法的結合律 以理解兩者的差異之處 三個實數相乘 先把前兩個實數相乘 再和另外一個實數相乘 或先把後兩個數相乘 再和另外一個數相乘 求得的積不變 此性質稱為實數乘法結合律 注意到將x y z次序改變時 如三個實數相乘xyz寫成yzx 仍然滿足實數乘法結合律 y乘以z再乘以x 等於y乘以z乘以x 計算如下 y乘以z再乘以x 等於括號5乘4乘2 等於20乘2等於40 或y乘以括號z乘以x 等於5乘以括號4乘以2 等於5乘以8等於40 求得的積不變仍然為40 這代表x y z次序改變時 求得的積不變 現在我們關心 矩陣乘法是否滿足結合律呢 給定三個矩陣A B C 要考慮矩陣乘法滿足結合律的首要條件就是 矩陣A乘以B再乘以C 與矩陣A乘以B乘以C 都要有意義 注意矩陣A B C不一定要同階方陣 讓我們用以下的例題說明 矩陣乘法滿足結合律 例如 設A等於矩陣1 3 B等於矩陣1 -1 0 1 且C等於矩陣0 -1 1 1 試驗證括號AB乘上C 等於A乘上括號BC 解答 因為括號AB乘上C 等於括號矩陣1 3 乘上矩陣1 -1 0 1 再乘上矩陣0 -1 1 1 等於矩陣1 2乘上矩陣0 -1 1 1 等於矩陣2 1 A乘上括號BC 等於矩陣1 3 乘上括號矩陣1 -1 0 1 乘上矩陣0 -1 1 1 等於矩陣1 3乘上矩陣-1 -2 1 1 等於矩陣2 1 所以滿足結合律 若矩陣A B C改變相乘次序 如AC B 檢驗括號AB乘上C 等於A乘上括號BC 等於括號AC乘上B 是否成立呢 求得矩陣3 -1 不等於矩陣2 1 所以括號AB乘上C 等於A乘以括號BC 不等於括號AC乘上B 因此當矩陣A B C保持相乘次序時 矩陣乘法滿足結合律 同學們試用以下的例題 驗證矩陣乘法是否滿足結合律 解答如上 可得到括號A乘以B乘以C 等於A乘以括號B乘以C 我們學過指數律 指數律是指設a b為實數且m n為正整數 則a的m次方乘上a的n次方 等於a的m加n次方 a的m次方的n次方 等於a的m乘以n次方 a的n次方乘上b的n次方 等於a乘以b括號的n次方 現在探討矩陣乘法是否滿足指數律呢 設A與B為同階方陣且m n為正整數 則A的m次方乘A的n次方 等於A的m加n次方 A的m次方的n次方 等於A的m乘以n次方 A的n次方乘以B的n次方 等於括號A乘以B的n次方 解答 第一題 A的m次方乘以A的n次方 等於有m個A相乘 再乘上有n個A相乘 等於有m加n個A相乘 等於A的m加n次方 第二題 A的m次方的n次方 等於有n個A的m次方相乘 等於A的m乘以n次方 第三題 因為A的n次方乘以B的n次方 與A乘以B括號的n次方 展開後次序改變了 如上所示 所以A的n次方乘以B的n次方 與A乘以B括號的n次方不一定相等 因此矩陣不滿足指數律 底下取n等於2為例來說明 例如 設A等於矩陣1 -1 0 0 且B等於矩陣1 0 0 2 試驗證A的平方乘B的平方 不等於A乘以B括號的平方 解答 求得矩陣A的平方乘以矩陣B的平方 等於矩陣1 -4 0 0 求得矩陣AB的平方等於矩陣1 -2 0 0 所以A的平方乘以B的平方 不等於括號A乘以B的平方 前面例子中 驗證出A的平方乘B的平方 不等於括號A乘以B的平方 那麼要增加甚麼條件後就會相等呢 若增加條件為AB等於BA 則A平方乘B平方等於括號A乘以B的平方 證明 由矩陣乘法結合律知 A平方乘B平方等於括號AA乘上括號BB 等於A乘上括號AB乘上B 因為AB等於BA 又等於A乘上括號BA乘上B 等於括號AB乘上括號AB 等於括號AB的平方 故A平方乘B平方 等於括號AB的平方 同樣地若增加條件為AB等於BA 則A的n次方乘上B的n次方 等於括號AB的n次方 同學們不妨證證看哦 找到矩陣A與B嗎 試著考慮滿足AB等於BA的矩陣 A與B 參考解法 求得矩陣AB等於矩陣 1 -1 -1 0 1 -1 0 0 1 求得矩陣BA等於矩陣 1 -1 -1 0 1 -1 0 0 1 求得矩陣A平方等於矩陣 1 -2 -1 0 1 -2 0 0 1 求得矩陣B平方等於矩陣 1 0 0 0 1 0 0 0 1 矩陣乘法滿足結合律 但乘法次序不能對調 這一點與實數乘法的結合律不同 原本矩陣乘法不滿足結合律 但增加條件後指數律就能成立 這概念值得探索 下一單元要學習矩陣乘法的分配律 有更多漂亮公式可探討 請拭目以待