數學上乘法的基本性質 是指乘法運算定律 包含交換律 結合律及分配律 應用這些運算定律 解乘法問題可簡化計算過程 前面單元中學習到 矩陣乘法的交換律及結合律 現在要探討矩陣乘法的分配律 除了特殊的方陣相乘滿足交換律 也說明矩陣相乘 必須遵守矩陣相乘次序 矩陣乘法具有分配律 甚麼是矩陣乘法分配律呢 讓我們先複習實數乘法的分配律 再探討矩陣乘法的分配律 以理解兩者的差異之處 若此三個實數為x y z 則x乘以括號y加z等於xy加xz 此性質稱為實數乘法分配律 例如 給定x等於2 y等於5 z等於4 試驗證x乘以括號y加z等於xy加xz 解法 x y z代入很容易就可以檢驗 x乘以括號y加z等於xy加xz 注意到xy寫成yx 或xz寫成zx 仍然滿足實數乘法結合律 這跟矩陣乘法的分配律不同之處 主因是矩陣乘法不具交換律 現在我們關心 矩陣乘法是否滿足分配律呢 給定三個矩陣A B C 矩陣乘法滿足分配律的首要條件 就是矩陣A乘以B A乘以C 與B加C都要有意義 由矩陣乘法定義可知 矩陣B C必定要同階矩陣 但矩陣A與B C不一定要同階矩陣 由於矩陣相乘要保持次序 所以分配律有分左分配律及右分配律 矩陣乘法有左分配律 若A乘以B A乘以C 與B加C都有意義 A乘以括號B加C等於A乘以B加A乘以C 矩陣乘法有右分配律 若A乘以C B乘以C與A加B都有意義 則括號A加B乘以C等於A乘以C加B乘以C 讓我們用以下例題說明矩陣乘法 滿足左分配律 例如 設A等於矩陣1 3 B等於矩陣1 -1 0 1 且C等於矩陣0 -1 1 1 試驗證A乘以括號B加C 等於A乘以B加A乘以C 解法 因為A乘以括號B加C 等於矩陣1 3乘以括號矩陣1 -1 0 1 加上矩陣0 -1 1 1 等於矩陣1 3乘以矩陣1 -2 1 2 等於矩陣4 4 A乘以B加A乘以C等於矩陣1 3 乘以矩陣1 -1 0 1 加上矩陣1 3乘以矩陣0 -1 1 1 等於矩陣1 2加矩陣3 2 等於矩陣4 4 所以A乘以括號B加C 等於A乘以B加A乘以C 同學們試用以下例題 驗證矩陣乘法是否滿足右分配律 求得矩陣括號A加B乘以C 等於矩陣2 -1 -4 0 2 4 求得矩陣A乘以C加B乘以C 等於矩陣2 -1 -4 0 2 4 所以括號A加B乘以C 等於A乘以C加B乘以C 你做對了嗎 矩陣乘法對係數積具有結合律 若r為實數且A乘以B有意義 則r乘以括號A乘以B 等於括號r乘以A乘以B 等於A乘以括號r乘以B 使用係數積結合律運算 便可簡化計算過程 舉例說明 已知A等於矩陣3 6 0 -3 且B等於矩陣5 -10 -5 15 求A乘以B 解法 因為A等於矩陣3 6 0 -3 等於3乘以矩陣1 2 0 -1 由係數積的性質可提出3 且B等於矩陣5 -10 -5 15 等於5乘以矩陣1 -2 -1 3 由係數積的性質可提出5 所以A乘以B等於括號 3乘以矩陣1 2 0 -1 乘以括號5乘以矩陣1 -2 -1 3 等於15乘以括號矩陣1 2 0 -1 乘以矩陣1 -2 -1 3 由係數積的結合律可提出15 等於15乘以矩陣-1 4 1 -3 等於矩陣-15 60 15 -45 由於矩陣乘法不滿足交換律 使得矩陣乘法與實數乘法性質 如乘法公式 如平方差 立方和及立方差 及以n等於2為例說明二項式定理 在矩陣不一定成立 給定兩個n階矩陣A與B 當平方差為括號A加B乘以括號A減B 等於A平方減B平方時 在矩陣不一定成立 證明如上 其中由於矩陣乘法不滿足交換率 所以-A乘以B加B乘以A 兩式不一定能消掉 所以平方差在矩陣不一定成立 但A乘以B等於B乘以A時 顯然-A乘以B加B乘以A等於0 所以此時平方差在矩陣必成立 當平方差為括號A加I乘以括號A減I 等於A平方減I時 在矩陣必成立 利用乘法分配律及交換得證 證明如上 給定兩個n階矩陣A與B 當立方差為括號A加B 乘以括號A平方減AB加B平方 等於A的三次方加B的三次方時 在矩陣不一定成立 證明如上 其中由於矩陣乘法不滿足交換率 所以-A平方乘以B 加B乘以A平方 A乘以B平方 減B乘以A乘以B 兩式不一定能消掉 所以立方差在矩陣不一定成立 當立方差為括號A加I 乘以括號A平方減AI加I平方 等於A的三次方加I時 在矩陣必成立 利用乘法分配律及交換律得證 證明如上 立方差在矩陣不一定成立 但是當B等於I時 立方差在矩陣必成立 以n等於2為例 說明二項式定理在矩陣不一定成立 證明如上 其中由於矩陣乘法不滿足交換率 所以A乘以B加B乘以A不能合併 所以以n等於2為例 說明二項式定理在矩陣不一定成立 若A平方等於I 則A等於I或A等於-I 不一定成立 A平方等於I推得 A平方減I等於括號A加I乘以括號A減I 等於零矩陣 即使A加I及A減I均不為零矩陣 也可能使積為零矩陣 例如 取A等於矩陣1 0 0 -1 求得A平方等於I 但A加I等於矩陣2 0 0 0 不等於零矩陣 A減I等於0 0 0 -2 不等於零矩陣 矩陣乘法的基本性質 包含交換律 結合律及分配律 注意應用這些運算定律 解乘法問題可簡化計算過程 同學們多多利用這些運算定律 來解決矩陣乘法問題 值得一提的是 矩陣乘法的基本性質與實數不同之處 關鍵在於矩陣的乘法 除了要滿足相乘基本定義外 矩陣的乘法不具交換律 下一單元是學習反方陣部分 請拭目以待