這個單元中 我們要跟同學們來介紹反方陣 但是在介紹反方陣前 我們先來談談實數中 與反方陣類似的概念吧 在實數的乘法中 若實數a不等於0 則必存在實數b等於a分之1 使得ab等於ba等於1 稱b為a的乘法反元素或倒數 記作b等於a的-1次方 例如給定實數a等於2 則b等於2分之1 稱2分之1為2的乘法反元素 或倒數 那麼矩陣是否存在 如同實數中類似倒數的概念呢 此概念即給定一個非零方陣A 是否存在一個同階方陣B 使得AB等於BA等於I呢 注意I為單位方陣 且方陣I與A是同階的方陣 就來觀察底下兩個二階方陣 A等於矩陣0 1 -1 3 且B等於矩陣3 -1 1 0 計算可得 AB等於矩陣1 0 0 1 等於I BA等於矩陣1 0 0 1 等於I 故AB等於BA等於I 由例子可知給定一個非零方陣A 是存在一個同階方陣B 使得AB等於BA等於I 一般而言乘法反方陣的定義為 乘法反方陣 設A為一個n階非零方陣 若存在n階方陣B 滿足AB等於BA等於I 則稱B是A的乘法反方陣 以符號A的-1次方表示 讀作A inverse 當方陣A有乘法反方陣時 則稱A為可逆方陣 一般而言當方陣A與B滿足 AB等於BA等於I時 則稱A與B互為乘法反方陣 也記為B等於A的-1次方 或A等於B的-1次方 請判斷A等於矩陣1 2 1 1 是否存在方陣B 使得AB等於I 若存在試求方陣B 解答 設B等於矩陣x y z u 滿足AB等於I 則AB等於矩陣1 2 1 1 乘以矩陣x y z u 等於矩陣x+2z y+2u x+z y+u 等於矩陣1 0 0 1 等於I 即得方程組 x+2z等於1 x+z等於0 且 y+2u等於0 y+u等於1 求解得到 x等於-1 y等於2 z等於1 u等於-1 故方陣B為-1 2 1 -1 再判斷BA等於I 是否成立呢 解答 BA等於I 是成立的 因為BA等於矩陣-1 2 1 -1 乘以矩陣1 2 1 1 等於矩陣1 0 0 1 等於I 所以BA等於I 由反方陣定義下 注意以下三個重要概念 並不是任意方陣都有乘法反方陣 例如給定方陣A等於矩陣0 1 0 1 若B等於矩陣a b c d 則AB等於矩陣0 1 0 1 乘以矩陣a b c d 等於矩陣c d c d 顯然矩陣c d c d不可能得到單位方陣I 所以A沒有乘法反方陣 那麼怎樣的方陣都有乘法反方陣呢 下個單元會揭曉哦 若A存在乘法反方陣A inverse 則A inverse是唯一 證明 設方陣B與C為A的乘法反方陣 則AB等於BA等於I 且AC等於CA等於I 又B等於BI等於B乘以括號AC 等於括號BA乘以C 等於IC等於C 所以B等於C 故A inverse是唯一 方陣才有反矩陣 下個單元說明二階反方陣存在的充要條件時 就會理解為何方陣才有反矩陣 底下說明反方陣的三個重要性質 設A為可逆方陣 則A inverse的inverse等於A 證明 因為A乘以A inverse 等於A inverse乘以A 等於I 所以A的inverse的inverse等於A 設A與B為同階可逆方陣 則AB亦為可逆方陣 即AB inverse 等於B inverse乘以A inverse 證明 對於非零純量k 設A為可逆方陣 則括號kA的inverse 等於k分之1乘A的inverse 例如給定方陣A等於矩陣1 1 2 1 且k等於2 則kA等於矩陣2 2 4 2 設B等於矩陣x y z u 滿足括號kA乘以B等於I 則括號kA乘以B等於矩陣2 2 4 2 乘以矩陣x y z u 等於矩陣2 2 4 2乘以矩陣x y z u 等於矩陣2x+2z 2y+2u 4x+2z 4y+2u 等於矩陣1 0 0 1 等於I 即得方程組 2x+2z等於1 4x+2z等於0 且 2y+2u等於0 4y+2u等於1 求解得到x等於-2分之1 y等於2分之1 z等於1 u等於-2分之1 即B等於矩陣 -2分之1 2分之1 1 -2分之1 等於括號kA inverse 同理可求得A inverse 等於矩陣-1 1 2 -1 所以k的-1次乘以A inverse 等於2分之1乘以矩陣-1 1 2 -1 等於-2分之1 2分之1 1 -2分之1 故得證 矩陣乘法無法由A不等於零矩陣 AB等於AC 推得B等於C 設A等於矩陣1 0 0 0 B等於矩陣0 0 0 1 C等於矩陣0 0 0 2 則AB等於矩陣1 0 0 1 乘以矩陣0 0 0 1 等於矩陣0 0 0 0 等於零矩陣 且AC等於矩陣1 0 0 0 乘以矩陣0 0 0 2 等於矩陣0 0 0 0 等於零矩陣 由此可知A不等於零矩陣 B不等於C 但AB等於AC 換句話說 無法由A不等於零矩陣 AB等於AC推得B等於C 這說明了矩陣乘法的消去律不成立 注意矩陣乘法的消去律也有成立情形 那麼滿足消去律的必要條件是甚麼呢 若考慮A為可逆方陣 則矩陣乘法的消去律成立 底下就來證明 消去律 設A B C均為同階方陣 且A為可逆方陣 若AB等於AC則B等於C 證明 因為A為可逆方陣 所以A乘以A inverse 等於A inverse乘以A 等於I 又AB等於AC 可得A inverse乘以AB 等於A inverse乘以AC 推得括號A inverse乘以A再乘以B 等於括號A inverse乘以A再乘以C 等價於IB等於IC 也就是B等於C 故B等於C 各位同學 學完矩陣基本運算 加減法 係數積及反方陣後 是否注意到沒有提到矩陣除法 除法概念事實上就是倒數的概念 而反方陣如同倒數的概念 矩陣的除法可說是藉由反矩陣 或解線性方程式來表達 反方陣一般用於求解聯立方程組 還有一些有趣的應用 接下來的單元陸續介紹 請各位拭目以待喔