前面單元學習到反方陣的定義 現在複習一遍 同時點出這單元關注的三個問題 乘法反方陣 簡稱反方陣 設A B為n階方陣 若AB等於BA等於I 其中I為n階單位方陣 則稱A B互為反方陣 記作B等於A的inverse 或A等於B的inverse 即A乘以A的inverse 等於A的inverse乘以A 等於I 或B乘以B的inverse 等於B的inverse乘以B 等於I 當A有反方陣時則稱A可逆 在反方陣的定義下 注意以下三點事實 並不是任意方陣都有反方陣 這單元透過二階反方陣 介紹反方陣存在的充要條件 若A有反方陣 則此反方陣必為唯一 這單元介紹二階反方陣的公式 說明唯一性質 設A B為兩個二階方陣 若AB等於I則BA等於I 證明部份這單元馬上揭曉 由於並不是任意方陣都有反方陣 所以求反方陣之前 要先驗證反方陣是否存在 由實例來探討反方陣存在及唯一性質 且論證矩陣的一般情形 已知二階方陣A等於方陣1 2 3 5 試求A的反方陣 解法 設B等於方陣x u y v為A的反方陣 則AB等於方陣1 2 3 5乘以方陣x u y v 等於方陣x+2y u+2v 3x+5y 3u+5v 等於方陣1 0 0 1 等於I 推得存在B等於方陣x u y v 滿足AB等於I 的意義等同於 第一 x加2y等於1 3x加5y等於0 與第二 u加2v等於0 3u加5v等於1 有解 而方程組第一與第二的係數完全相同 且決定的行列式值det 等於行列式1 2 3 5 等於5減6等於-1 不等於0 由克拉瑪公式知方程組第一與第二 分別恰有一組解為 x等於-5 y等於3 u等於2 v等於-1 因此存在唯一的B等於方陣-5 2 3 -1 使得AB等於I 同理可得存在唯一的B等於方陣-5 2 3 -1 使得BA等於I 同學們自行檢驗 由例子中了解存在反方陣 等同於方程組有唯一解 此解受det不等於0所影響 由克拉瑪公式知A等於方陣1 2 3 5 存在唯一的反方陣B等於方陣-5 2 3 -1 觀察到B等於方陣-5 2 3 -1 等於-1分之1乘以方陣5 -2 -3 1 等於det分之1乘以方陣5 -2 -3 1 發現 分母為det B的主對角線上的元1與5 恰為A的主對角線上的元1與5位置對調 B的副對角線上的元-2與-3 恰為A的副對角線上的元2與3變號 對一般的二階方陣A等於方陣a b c d 由上述例子觀察推測出 若det不等於0 則A可逆且B等於A的inverse 等於det分之1乘以方陣d -b -c a 直接驗證A等於方陣a b c d 存在反方陣為 det分之1乘以方陣d -b -c a 證明 A乘以det分之1 乘以方陣d -b -c a 等於方陣a b c d乘以det分之1 乘以方陣d -b -c a 等於det分之1乘以括號 方陣a b c d乘以方陣d -b -c a 因為det等於ad減bc 等於ad減bc分之1 乘以方陣ad-bc 0 0 ad-bc 等於方陣1 0 0 1 等於I 同理可得det分之1 乘以方陣d -b -c a 乘以A等於I 我們已經得證若det不等於0 則A可逆且B等於A的inverse 等於det分之1乘以方陣d -b -c a 那麼若det等於0 則A是否有反方陣呢 由det等於0 知道有三種情形 A的某行或某列均為零 A的第1列與第2列成比例 A的第1行與第2行成比例 以上三種情形均可以檢驗 此種的矩陣A不存在反方陣 檢驗方式相同 底下就以A等於方陣1 2 2 4為例 設矩陣B等於方陣x u y v 使得AB等於I 則AB等於方陣1 2 2 4乘以方陣x u y v 等於方陣x+2y u+2v 2x+4y 2u+4v 等於方陣1 0 0 1 得方程組 x加2y等於1 2乘以括號x加2y等於0 與方程組 u加2v等於0 2乘以括號u加2v等於1 由方程組一式 x加2y等於1 二式 2乘以括號x加2y等於0中 一式代入二式 可得2乘以1等於0 矛盾 所以方程組無解 此時A的反方陣不存在 以上討論我們得到 二階乘法反方陣的公式 若二階方陣A等於方陣a b c d的行列式 det不等於0 則A有乘法反方陣A的inverse 且B等於A的inverse 等於det分之1乘以方陣d -b -c a 主對角線對調 副對角線變號 若det等於0 則A沒有乘法反方陣或不可逆 已知二階方陣A等於方陣3 -10 2 -7則 第1題 A是否有乘法反方陣 亦即A的inverse是否存在 第2題 若A的inverse存在 試求A的inverse 解答 第1題 det等於-1不等於0 故A的inverse存在 第2題 由乘法反方陣的公式 得A的inverse等於-1分之1 乘以方陣-7 10 -2 3 等於方陣7 -10 2 -3 除了乘法反方陣的公式解反方陣外 還有別的方式解反方陣嗎 底下介紹矩陣的列運算來求反方陣 設矩陣B等於方陣x u y v 使得AB等於I 則AB等於方陣3 -10 2 -7 乘以方陣x u y v 等於方陣3x-10y 3u-10v 2x-7y 2u-7v 等於方陣1 0 0 1 得到方程組 3x減10y等於1 2x減7y等於0 與方程組 3u減10v等於0 2u減7v等於1 寫成增廣矩陣為 矩陣3 -10 1 2 -7 0 和矩陣3 -10 0 2 -7 1 將兩個增廣矩陣合併進矩陣的列運算 即 得到矩陣1 0 7 -10 0 1 2 -3 得解為x等於7 y等於2 及u等於-10 v等於-3 因此A的反方陣為7 -10 2 -3 矩陣的列運算來求反方陣的方法 可以適用於n階方陣A求A的反方陣 試證明 設A B為兩個二階方陣 若AB等於I 則BA等於I 因為AB等於I 所以det等於det乘以det 等於det等於1 可推得det det不等於0 故方陣A與B的反方陣 A的inverse與B的inverse均成立 又I等於B乘以B的inverse 等於B乘以I乘以B的inverse 等於B乘以括號AB乘以B的inverse 等於BA乘以括號B乘以B的inverse 等於B乘以A乘以I 等於BA 因此BA等於I 乘法反方陣簡稱反方陣 若二階方陣A等於a b c d的行列式 det不等於0 則A有乘法反方陣A的inverse 且B等於A的inverse 等於det分之1乘以d -b -c a 主對角線對調 副對角線變號 若det等於0 則A沒有乘法反方陣或不可逆 重要性質 若A B為兩個二階方陣 若AB等於I 則BA等於I 各位同學 對於一般n階方陣的反方陣求法 大學線性代數課程會提到 有統一的理論公式 這裡僅談到二階乘法反方陣的公式 是它特例情形 反方陣存在及唯一性質 可由克拉瑪公式及行列式概念而得到 有領略行列式與反方陣公式解的微妙關係嗎 接下來的單元介紹用乘法反方陣的應用 請各位拭目以待喔