這單元要介紹兩個反方陣的應用 一是利用反方陣求解聯立方程組 二是利用反方陣解矩陣方程式的方法 運用在於密碼學 在高中學習到解線性方程組的方法 包含有 代入消去法 加減消去法 高斯消去法 高斯-喬登消去法 矩陣的基本列運算法 化簡求解方程組 行列式克拉瑪法則 反方陣乘積法 以上前五個解線性方程組的方法都已學過 現在來介紹反方陣乘積法 介紹由反方陣求解方程組前 先複習反方陣重要概念 若A有反方陣A的inverse 則A乘以A的inverse 等於A的inverse乘A 等於I A稱為可逆方陣 A為可逆方陣充要條件 det不等於0 一個可逆方陣的乘法反方陣恰有一個 若A為可逆方陣 且AB等於AC 則B等於C 這概念說明了 滿足矩陣乘法消去律的條件 是A為可逆方陣 底下就來證明 因為A為可逆方陣 所以A的inverse存在 且A的inverse乘以A等於I 由AB等於AC 同時在左邊乘上A的inverse 得到A的inverse乘以AB 等於A的inverse乘以AC 得到括號A的inverse乘以A乘以B 等於括號A的inverse乘以A乘以C 可推得IB等於IC 故B等於C 矩陣乘法消去律的證明方式 與馬上介紹到利用反方陣 解線性方程組的證明方式是相同的 已知二階方陣A等於2 7 1 3 試求A的乘法反方陣 同學們請利用前一單元 學習二階反方陣方式求反方陣 同學們做對了嗎 在平面上設a向量與b向量 為兩個不平行非零向量 則平面上的任一向量c向量 都可以唯一表示成 a向量與b向量的線性組合 也就是存在唯一的一組實數x y 使得c向量等於xa向量加yb向量 把向量a向量 b向量及c向量 改為坐標形式 a向量等於 b向量等於 及c向量等於 再把向量a向量等於 b向量等於 及c向量等於 視為矩陣a a 矩陣b b 及矩陣c c 故c向量等於xa向量加yb向量 就可以寫成矩陣方程式 矩陣c c 等於x乘以矩陣a a 加y乘以矩陣b b 即矩陣c c 等於矩陣a x加b y a x加b y 此矩陣方程式可視為解方程組 a x加b y等於c 一般二元一次方程組 a x加b y等於c 利用矩陣乘法的概念 可將方程組表示為 矩陣a b a b 乘矩陣x y 等於矩陣c c 令A等於矩陣a b a b X等於矩陣x y 且B等於矩陣c c 則化成矩陣方程組AX等於B來表示 現在要解X 若det不等於0 則A的inverse存在 且A的inverse乘以A等於I 在式等號兩側左邊同時乘上A的inverse 得到A的inverse乘AX 等於A的inverse乘B 括號A的inverse乘A乘以X 等於A的inverse乘B 因為A的inverse乘A等於I 所以IX等於A的inverse乘B 故X等於A的inverse乘B 注意當det等於0 即A的inverse不存在時 無法用這個方法求解 美國的密碼學學者布魯斯 施奈爾 在應用密碼學一書提到 幾乎所有密碼學家 同時也是理論數學家 密碼學是數學的一個分支 現在密碼學和數論息息相關 這裡介紹利用反方陣解矩陣方程式的方法 運用於密碼學 例如 若將英文字母按照次序編碼如下 A等於矩陣0 1 B等於矩陣0 2 C等於矩陣0 3 Y等於矩陣2 5 Z等於矩陣2 6 則單字CAR可編碼成矩陣0 0 1 3 1 8 今將某單字編碼成矩陣X後 並以矩陣A等於1 1 2 3加密 將AX的結果傳送給對方 若你收到的矩陣4 1 2 8 11 3 4 24 則此傳送單字為何 解答 按照題意可得矩陣方程式為 AX等於矩陣1 1 2 3乘X 等於矩陣4 1 2 8 11 3 4 24 因為det等於矩陣1 1 2 3 等於1不等於0 所以A的inverse存在且計算可得 A的inverse等於1分之1 乘以矩陣3 -1 -2 1 等於矩陣3 -1 -2 1 求得X等於A的inverse 乘以矩陣4 1 2 8 11 3 4 24 等於矩陣3 -1 -2 1 乘以矩陣4 1 2 8 11 3 4 24 等於矩陣1 0 2 0 3 1 0 8 故傳送單字為MATH M A T H 解線性方程組可利用矩陣方程式求解 現在提供多項式的求解方法 不能用於矩陣方程式的求解例子 除了上述的解形式還有別的解嗎 同學們想一想 利用反方陣解線性方程組 反方陣的角色似乎像除法一般 正確觀念是矩陣沒有除法 是借助反方陣的性質 使得解線性方程組 這裡談到兩個反方陣的應用 還有許多矩陣的應用 同學們可以自行探索哦