生活中會使用數字 甚至很多數字 將數字有次序的組合方法 就是矩陣 若將生活中的資料表格 形成矩陣的階數常常會很大 此時可以藉由電腦軟體Excel 或數學軟體GeoGebra輔助計算 這單元利用GeoGebra 輔助計算矩陣的運算 包含矩陣的加減法 係數積 乘法 反方陣 及矩陣行列式等等 GeoGebra是奧地利數學教授 Java Markus Hohenwater 設計的免費數學軟體 是融合幾何Geometry 和代數Algebra的數學軟體 簡稱GGB 可同時處理幾何繪圖 代數計算 微積分 和統計試算表 GeoGebra可支援實數矩陣 將矩陣的每一列作為元素 以二維串列來儲存矩陣 特別內建矩陣是以小括弧表示 舉例說明 直接在GeoGebra中指令列輸入 A等於括號括號1,2括號3,4 就產生一個2乘以2階矩陣 A等於矩陣1 2 3 4 注意到輸入矩陣是以一對大括弧來表示 而每一個列是用一對大括弧來表示 而每列間以逗號來區隔 另一種是利用試算表來輸入 步驟如下 先點選檢視再選試算表 顯示試算表功能 在試算表中輸入第1列數字為1 2 3 第2列數字為4 5 6 第3列數字為7 8 9 將試算中的數字反白後 按滑鼠右鍵 新增 矩陣 從試算表中新增一個矩陣m1 矩陣的名稱m1是電腦自動產生的 得到矩陣m1等於矩陣 1 2 3 4 5 6 7 8 9 當更改試算表中的數字時 代數區相對應的矩陣也跟隨變動 利用試算表產生矩陣的好處 是不用輸入一大堆大括號及逗點 對於階數大的矩陣特別有用 在GeoGebra上操作考慮 兩矩陣的基本運算時 直接在指令列輸入是十分直覺的 底下就來介紹利用GeoGebra操作 來計算兩矩陣的加減法 係數積及乘法 矩陣運算是以串列來做運算 先利用GeoGebra操作得到兩個矩陣 A等於矩陣1 2 3 4 5 6 7 8 9 及B等於矩陣1 0 1 1 1 1 -1 2 1 若在指令列輸入M 等於A加B 則得到矩陣M 等於A加B 若在指令列輸入M 等於A減2B 則得到矩陣M 等於A減2B 若在指令列輸入M 等於A乘以B 則得到矩陣M 等於AB 利用GeoGebra操作來計算 反方陣inverse matrix 及矩陣行列式determinant 上述定義為 利用GeoGebra操作得到矩陣 A等於矩陣1 2 3 4 若在指令列輸入 Invert 則得到矩陣B等於A的inverse 若在指令列輸入 Determinant 則得到Determinant等於-2 底下介紹如何使用GeoGebra 輔助實例中的矩陣乘法運算 某人若規劃暑假到日本及韓國 自助旅遊10日 每日的食 住宿 交通費用 預估如表1所示 目前他規劃兩個行程 甲與乙方案如表2所示 由表1與表2中食 宿 交通費用預估表 可視為矩陣A等於矩陣 2000 1500 4000 3000 1000 500 且停留日數表可視為矩陣B 等於矩陣4 3 6 7 我們可以利用如下矩陣C 表示甲方案與乙方案各項費用 矩陣2000 1500 4000 3000 1000 500 乘以矩陣4 3 6 7 等於矩陣4乘以2000加6乘以1500 3乘以2000加7乘以1500 這是食的部分 4乘以4000加6乘以3000 3乘以4000加7乘以3000 是住宿的部分 4乘以1000加6乘以500 3乘以1000加7乘以500 這是交通的部分 所以甲方案 乙方案 的食 住宿 交通 可表示為矩陣17000 16500 34000 33000 7000 6500 利用GeoGebra中的試算表 列出各項費用 步驟如下 利用GeoGebra操作得到矩陣A等於 2000 1500 4000 3000 1000 500 與B等於矩陣4 3 6 7 在指令列輸入C等於A乘以B 得到矩陣C為甲方案與乙方案各項費用 由題意知BA等於C 則矩陣1 2 3 4乘以A 等於矩陣8 20 10 6 20 46 20 14 推得A等於矩陣1 2 3 4的inverse 乘以矩陣8 20 10 6 20 46 20 14 等於矩陣4 6 0 2 2 7 5 2 而4加2等於6 6加7等於13 0加5等於5 2加2等於4 故新密碼為6354 先利用GeoGebra操作得到兩個矩陣 B等於矩陣1 2 3 4 及C等於矩陣8 20 10 6 20 46 20 14 若在指令列輸入Invert 則得到矩陣M等於B的inverse 若在指令列輸入A等於M乘以C 則得到矩陣A等於MC GeoGebra的介面是容易操作 且可以將幾何 代數及試算表連結在一起後 以動態展現 同時擁有許多強大的功能 值得一提的是GeoGebra有多種語言支援 適用於世界各地 更提供學習者的網頁的工具及交流 使得廣泛被應用 同學們可以多多使用GeoGebra探索數學的奧秘