酷課雲村每年在春夏之際 氣候陰晴不定 今天酷課雲村沒有下雨 小均想要預測明後天的天氣 於是找到氣象局長期的統計資料 根據資料顯示 假如當天無雨 則隔天無雨的機率為0.8 反之下雨的機率為0.2 假如當天下雨 則隔天無雨的機率為0.3 反之下雨的機率為0.7 我們以樹狀圖呈現 今天無雨 所以小均知道明天無雨的機率為0.8 下雨的機率為0.2 那麼後天無雨的機率是多少呢 於是小均以樹狀圖來看 利用前些日子所學到的條件機率 來預測後天無雨的機率 由於後天無雨的情形 需考慮明天是否有雨的情形 由統計資料及條件機率 推知後天無雨的機率為 0.8乘以0.8加0.2乘以0.3 等於0.7 在前面的單元 我們學習了矩陣的運算 剛剛所提到的機率問題 我們也可以利用矩陣的運算來解決 這也是矩陣在機率問題上一個重要的應用 由前面的統計資料及樹狀圖得知 我們知道總共有無雨與下雨兩種狀態 我們分別將其記為S 與S 接著將資料進一步整理如表所示 我們可以將表格進一步化簡成2階方陣A 也就是由當天的狀態 轉移到隔天的狀態 由前面資料得知 明天無雨機率0.8 下雨機率0.2 對應表格我們可以將它寫成 明天無雨S 機率等於0.8 等於0.8乘以1加0.3乘以0 明天下雨S 機率等於0.2 等於0.2乘以1加0.7乘以0 並以矩陣形式呈現 根據矩陣乘法的運算 我們可以看到矩陣0.8 0.2 正好是矩陣A乘以矩陣1 0的結果 因為今天無雨是已發生的情況 所以矩陣括號1 0 我們可以看成今天無雨的機率為1 下雨的機率為0的狀態 最後我們將降雨狀態寫成 2乘以1階的矩陣X 事實上我們也可以將之後每一天的降雨狀態 寫成2乘以1階的矩陣 假設X 為n天後的降雨狀態矩陣 其中p 為n天後的無雨機率 由於每一天降雨狀態 不是無雨就是下雨狀態 所以1減p 就是n天後的下雨機率 所以由前面得知 X 等於矩陣0.8 0.2 我們想進一步預測後天降雨狀態 利用樹狀圖及對應表格 我們可以將它寫成 後天無雨S 機率等於 0.8乘以0.8加0.3乘以0.2 等於0.7 後天下雨S 機率等於 0.2乘以0.8加0.7乘以0.2 等於0.3 我們將它寫成矩陣形式 藉由矩陣乘法的運算 我們可以看到矩陣0.7 0.3 正好是矩陣A乘以矩陣0.8 0.2的結果 綜合前面的過程 我們可以理解今明兩天和明後兩天的轉換關係相同 所以AX 等於X 且AX 等於X 也就可以驗證前面所說的 後天無雨S 的機率為0.7 同時也回答前面測驗的問題 後天第2日下雨S 的機率為0.3 我們以此類推可以預測第3天降雨狀態 矩陣X 等於AX 第4天X 等於AX 第n天X 等於AX 這裡要特別注意 我們使用狀態對應表格呈現 得知矩陣A的寫法跟狀態寫的順序有關 不同的狀態順序 會寫出不一樣的矩陣A 在前面的練習中 我們可以先確定狀態的順序 即X 再利用矩陣乘法的性質求出矩陣A 假設矩陣A等於a b c d 若現在為命中的情況下 那麼我們將A乘以矩陣1 0 就會得到矩陣0.7 0.3 因此a b等於0.7 0.3 同理假如現在為未中的情況下 那麼我們將A乘以矩陣0 1 就會得到矩陣0.5 0.5 因此c d等於0.5 0.5 這兩個2乘以1階的矩陣合併就形成矩陣A了 前面我們提到的矩陣A 可視為由某個狀態變化到下一個狀態 機率的紀錄 因為每個元代表由某個狀態 變化到下一個狀態的機率 因此各元必介於0與1之間 又每一行的和為由某個狀態 變化到其他狀態的機率總和 因此每一行的和必為1 當一個方陣具有上述兩個特徵時 我們稱此方陣為轉移矩陣 另外轉移矩陣的概念 是由俄國數學家馬可夫在20世紀初時所提出 直到今日不管是在科學界 工程界還是商業界 都有很廣泛的應用 因此我們又將轉移矩陣稱為馬可夫矩陣 臺灣地區每四年就有一次總統選舉 在選舉日子接近時 各民調公司約每隔兩個星期 都會有新的民調產生 各政黨陣營除了關心支持率外 也會根據民調分析有多少比例的人轉移陣營 從而由此趨勢預測選舉的結果 在這裡我們也可以利用轉移矩陣 幫助我們預測民調趨勢 我們以一個例子說明 某國家選舉與民主化調查的機構 長期做定群追蹤資料研究 針對該國人民對兩政黨 G黨及B黨支持度進行調查如下 每年支持G黨的人 有百分之80繼續支持G黨 有百分之20轉支持B黨 而支持B黨的人有百分之60繼續支持B黨 有百分之40轉支持G黨 已知今年G黨及B黨的支持率 分別為百分之75與百分之25 如果將今年G黨及B黨的支持率 用2乘以1階的矩陣X 表示 矩陣0.75 0.25 則試寫出兩政黨支持度的轉移矩陣A 試求一年後及兩年後的支持率矩陣 依題意製作支持度表格 所以我們可以得到符合題意的轉移矩陣為 A等於矩陣0.8 0.2 0.4 0.6 因為今年有百分之75支持G黨 所以X 等於矩陣0.75 0.25 我們假設X 表n年後 G黨及B黨的支持率矩陣 依序計算X 及X 得X 等於矩陣0.7 0.3 及X 等於矩陣0.68 0.32 所以一年後及兩年後的支持率矩陣分別為 矩陣0.7 0.3及矩陣0.68 0.32