影像處理軟體的功能琳瑯滿目

只要利用軟體介面上的幾個按鈕

可以將照片進行後製

像由花園照片利用一些特效

我們就可以製成花園星空的樣子

我們可以在電腦上利用伸縮

旋轉

左右或上下鏡射

推移或拉扯變形的功能

將照片做處理

這背後涉及了平面線性變換的數學原理

在前面的測驗中

我們利用矩陣的乘法

可以得到A乘以等於

在這裡我們可以將矩陣視為點

視為點

那麼矩陣A就可以視為

將點變換成點的一種對應關係

由此可知

我們可以在坐標平面上

將任何一點P

經由矩陣乘法

A乘以

等於的運算

而對應到點Q

像這樣的對應關係

我們就稱為線性變換

在前面的例子中

我們稱二階方陣矩陣A

將點P作線性變換到點Q

而且點Q

稱為點P的對應點

在這裡我們將平面上點的線性變換

定義如螢幕呈現

在前面的測驗中

二階方陣A等於

分別將P點與Q點

對應到P'與Q'

我們計算PQ直線方程式為

-x加3y等於4

在直線PQ -x加3y等於4上取一點R

計算A乘以等於

即方陣A將R

對應到點R'

同時注意到點R'會落在

直線P'Q' x加4y等於-4上

這個現象並非偶然

事實上當R點為直線PQ上的任何一點時

經過A變換後的R'點

也會在直線P'Q'上

同樣地我們也可以推知

當R點為線段PQ上的任何一點時

經過A變換後的R'點

也會在線段P'Q'上

由這個例子得知

直線經過線性變換後的圖形是直線

但是有沒有例外呢

答案是有的

讓我們來看一個例題

設二階方陣B等於

我們觀察到直線L x加y等於2上兩點

P與Q

都對應到

進一步證實

我們假設直線L任一點

其中t為實數

經矩陣運算後無論t為何值

直線L上任一點都對應到

由以上我們可以做以下小結

直線或線段經過線性變換後的圖形

直線經過線性變換後的圖形

必為直線或一點

線段經過線性變換後的圖形

必為線段或一點

我們在前面所提到線性變換

除了可視為平面上點與點之間的變換外

亦可視為平面上向量與向量之間的變換喔

這是由於行矩陣與

也能視為平面向量之故

例如 向量u等於

經過二階方陣A等於變換後

會是什麼向量呢

首先將向量u等於視作向量OR

其中O為原點

R為點

接著因為A乘以等於

且A乘以等於

所以O點經過矩陣A變換後仍為O點

R點經過A變換後

為R'

最後我們可以得到經過A變換後

向量u等於的對應向量

為向量v等於

由此亦可推得

向量u經過A變換後

仍然會是一個向量

即向量v

各位同學

我們已經初步介紹完

有關線性變換的一些性質

下個單元我們將進一步介紹

線性變換的嚴謹定義

及向量經過線性變換後的線性組合意涵

就讓我們拭目以待吧