在上一支影片中

我們曾介紹行矩陣x y

在平面上可視為點

或向量x y

同時我們也可以在坐標平面上

將任何一點P點

經由矩陣乘法A乘以x y

等於x' y'的運算

而對應到點Q

像這樣的對應關係

我們就稱為線性變換

舉例來說

給定一個二階方陣A等於2 1 5 3

由A乘以1 0等於2 5

及A乘以0 1等於1 3

可解讀為點P及點Q

經二階方陣A

分別對應至點P'與Q'

此外我們還可以藉由矩陣乘法運算

A乘以x y等於2x+y 5x+3y

得知點R可經二階方陣A

對應至R'

那是因為我們已經知道矩陣A

才能清楚地知道點或向量的對應

那麼假如我們知道了點或向量的對應

例如及

經二階方陣A

分別對應至與

是否可以知道線性變換矩陣A呢

在前面測驗中

我們可以假設線性變換

矩陣A等於a c b d

因為線性變換將對應至

由矩陣乘法運算得

A乘以1 0等於a b

所以a b等於4 -5

同理因為線性變換將對應至

由矩陣乘法運算得

A乘以0 1等於c d

所以c d等於-3 2

所以我們可以得到

矩陣A等於4 -3 -5 2

另外因為A乘以0 0等於0 0

所以線性變換會將對應至

我們可以歸納一下

矩陣A等於a c b d

所代表的線性變換具有什麼樣的性質

A會將原點變換到原點

A會將 變換到

對應到矩陣A的第一行

A會將變換到

對應到矩陣A的第二行

在前面的測驗中

矩陣A將對應到

對應到

所以我們可以得到

矩陣A等於-2 4 3 1

然後再直接計算A乘以3 2

得到2 11

事實上我們可以從線性組合的觀點來解決問題

從向量來看

若向量a等於α向量u加β向量v

其中α β為實數

則我們說向量a為向量u 向量v的線性組合

而α β為線性組合的係數

因為對應到

對應到

且3 2等於3乘以1 0

加2乘以0 1

所以由矩陣加法及係數積運算性質得知

A乘以3 2等於3A乘以1 0

加2A乘以0 1

最後得到A乘以3 2等於2 11

也就是矩陣A將點對應到點

我們可以看到可以寫成

3乘以1 0加2乘以0 1

經過矩陣A的對應

對應到

對應到

且對應到

我們發現也可以寫成

3乘以加2乘以

也就是線性組合的係數不變

由線性變換的性質可知

只要知道二階線性變換矩陣A

將分別對應到與

即可得知A等於a c b d

另外矩陣A將x y對應到

x乘以a b加y乘以c d

也就是若A乘以x y

等於x' y'

則x' y'可以寫成

矩陣A第一行與第二行所對應向量

與的線性組合

各位同學

我們已經介紹完有關線性變換的性質

接下來幾個單元

我們將進一步介紹

特殊的線性變換及其幾何涵義

那麼我們下次再見喔