我們常利用電腦將一張圖片

作等比例的放大或縮小

這樣的操作就是數學上的一種

伸縮變換

伸縮變換前後的圖形

其中一個例子就是相似形

如果兩多邊形滿足對應角相等

且對應邊成比例

那麼我們稱這兩多邊形相似

假如以某定點為中心

作等比例的伸縮變換

那麼變換前後的圖形也會相似喔

有一天狐狸貓到照相館把自己的照片放大

可是照相館的人想要試驗新的洗照片技術

所以就把狐狸貓的照片拿來試驗

結果就試出三種不同的照片

前面的例子中

我們知道將左邊圖形以某固定比例放大

成右邊圖形

是一種伸縮變換

但是我們在這裡所說的伸縮變換

並不僅限於等比例放大或縮小的轉換喔

所謂的伸縮變換

就是我們將圖放在坐標平面上

以原點O為中心

把圖上點x y坐標

分別伸縮某個倍數的變換

我們利用這樣的操作

就可以將狐狸貓原來的照片

變成前面例題中三個選項的效果

然而伸縮變換也是一種線性變換喔

在上一支影片當中

我們有提到線性變換

只要及的變換結果確定了

那麼線性變換的矩陣也就確定了

例如及經二階方陣A

分別對應至與

那麼我們就可以知道線性變換矩陣A為

a c b d

在這裡我們定義伸縮變換

就是給定h k大於0

以原點O為中心將x坐標伸縮h倍

y坐標伸縮k倍的變換

所以就對應到

且對應到

伸縮變換矩陣A就等於

h 0 0 k

我們也可以從坐標變換的形式

寫出伸縮變換矩陣

即當點P變換到P'

其中x'等於hx等於hx加0y

y'等於ky等於0x加ky

我們利用矩陣運算得到

x' y'等於h 0 0 k乘以x y

所以伸縮變換矩陣為

h 0 0 k

另外坐標平面上的點

經線性變換矩陣A對應到點

我們也可以利用矩陣運算

寫成線性組合的式子

例如 當A等於2 0 0 3

則線性變換A會將變換到

我們進一步可以視為

把與分別變換到

且x加y變換到x加y

由此得知

原來向量的線性組合經伸縮變換後

線性組合的係數不變

前面所提的等比例縮放

就是將坐標平面上以原點O為伸縮中心

將點x坐標及y坐標同樣伸縮r倍

也就是點Q就會變換到Q'

其中r大於0

換言之向量OQ'等於r乘以向量OQ

因為Q以原點O為伸縮中心

將點x坐標及y坐標同樣伸縮r倍

變換到Q'

其中x'等於rx等於rx加0y

y'等於ry等於0x加ry

我們利用矩陣運算得到

x' y'等於r 0 0 r乘以x y

所以伸縮變換矩陣為r 0 0 r

在上個測驗當中

我們知道三角形ABC

以原點O為伸縮中心

經線性變換矩陣T

等比例縮放到三角形A'B'C'

所以我們假設向量OA'等於r乘以向量OA

且向量OB'等於r乘以向量OB

其中r大於0

因此向量OA的絕對值分之向量OA'的絕對值

等於向量OB的絕對值分之向量OB'的絕對值

等於r

又角AOB等於角A'OB'

所以三角形AOB與三角形A'OB'相似

所以線段OA分之線段OA'

等於線段OB分之線段OB'

等於r

等於線段AB分之線段A'B'

等於3

也就能得到線性變換矩陣T等於

3 0 0 3

因為線性變換矩陣T等於3 0 0 3

我們可以得到

線段OA分之線段OA'

等於線段OB分之線段OB'

等於線段OC分之線段OC'

等於3

又角AOC等於角A'OC'

且角BOC等於角B'OC'

所以三角形AOC與三角形A'OC'相似

且三角形BOC與三角形B'OC'相似

最後得到線段AB分之線段A'B'

等於線段AC分之線段A'C'

等於線段BC分之線段B'C'

等於3

且三角形ABC與三角形A'B'C'相似

因為三角形ABC與三角形A'B'C'相似

且線段比值等於3

我們利用三角形面積公式可以推得

三角形A'B'C'面積

等於9乘以三角形ABC的面積

那麼假如三角形ABC不是等比例伸縮的話

那麼三角形ABC經伸縮矩陣T

會對應到什麼樣的圖形

以及對應前後的面積有什麼樣的關係呢

在前面的單元

我們知道向量或點

經線性變換矩陣T

同樣會對應到向量或點

所以我們可以想像得到

三角形ABC經伸縮矩陣T

會對應到另一個三角形A'B'C'

有沒有可能對應到的圖形

是一點或一線段呢

答案是不可能

我們假設三角形ABC三頂點坐標分別為

A點

B點

C點

經伸縮矩陣T等於h 0 0 k

對應到A' B' C'

點坐標分別為A'

B'

C'

其中h k大於0

我們利用向量AB及向量AC

及行列式求三角形ABC的面積

再利用向量A'B'及向量A'C'

及行列式性質求三角形A'B'C'的面積

最後我們可以得到

三角形A'B'C'面積等於hk乘上

三角形ABC面積

其中h k大於0

根據這個關係式

假如三角形ABC對應到的圖形

是一點或一線段的話

那麼對應的圖形面積會等於0

明顯矛盾

因此三角形經伸縮矩陣T h 0 0 k

其中h k大於0

所對應到的圖形也會是一個三角形

各位同學

我們這支影片已經介紹完

伸縮變換之性質

並且用矩陣來表示伸縮變換

下支單元

我們將介紹以原點為中心

旋轉變換之意義

並用矩陣來表示旋轉變換

那麼我們下次再見喔 掰掰