在遊樂場中 我們可以看到有幾項遊樂設施 繞著某個中心點旋轉 例如摩天輪 旋轉木馬等 我們也常利用電腦將一張圖片 作旋轉的處理 這樣的操作 就是數學上的一種旋轉變換 在這支影片裡 我們將要以線性變換的角度 來揭露旋轉背後的原理 在前面的練習中 我們利用廣義三角比的定義 求出P'點坐標 我們假設線段OP'等於r 線段OP'與x軸正向夾角為α 則同樣由廣義三角比的定義 我們得知P'點的坐標為 那麼假如是平面上任何一點P 繞著原點O 逆時針旋轉θ角到P'點 那麼P'點坐標要如何求 以及P點坐標與P'點坐標的關係為何 設平面上P點坐標為 若將線段OP以原點為中心旋轉θ角 到線段OP' 則點P變換至點P' 這種變換稱為旋轉變換 我們就先記為Rθ 設線段OP長度為r 線段OP與x軸正向夾角為α 所以P點坐標為 P點以原點為中心 旋轉θ角到P' 線段OP'長度也為r 但線段OP'與x軸正向夾角為α加θ 此時P'點坐標為,rsin) 也就是P坐標 對應到P'坐標,rsin) 我們來複習一下和角公式 cos=cos α cos θ-sin α sin θ 且sin=sin α cos θ+cos α sin θ P'點坐標,rsin) 我們利用和角公式展開 因為P點坐標 為 也就是x等於rcos α y等於rsin α 所以x'等於xcos θ減ysin θ 以及y'等於ycos θ加xsin θ 最後我們將P及P' 表示成矩陣的形式 最後得到x' y'等於 cos θ -sin θ sin θ cos θ 乘以x y 所以我們得到矩陣 cos θ -sin θ sin θ cos θ 為點P以原點為中心旋轉θ角度 變換至點P'的旋轉變換矩陣 另外旋轉變換也是一種線性變換喔 在前面的影片當中 我們有提到線性變換 只要1 0及0 1的變換結果確定了 那麼線性變換的矩陣也就確定了 例如1 0及0 1經二階方陣A 分別對應至與 那麼我們就可以知道線性變換矩陣A 為a c b d 我們假設Rθ為平面上任一點P 繞原點O逆時針旋轉θ角的一個變換 所以我們可以看到 在單位圓上逆時針旋轉θ角 就到點 而點在單位圓上逆時針旋轉θ角 就到單位圓上90度加θ角的位置 即),sin) 因為cos等於-sin θ 且sin等於cos θ 最後我們得到經由Rθ的變換對應至 -sin θ cos θ 因此我們就可以得到旋轉矩陣為 cos θ -sin θ sin θ cos θ 由前面的推論得知 將坐標平面上的點P以原點為中心 旋轉θ角後變換到點P' 它們的關係就是這個式子 我們接下來看一道例題 若三角形OAB為正三角形 如示意圖 O點 A點 且B點在第一象限 試求B點坐標 因為三角形OAB為正三角形 所以將點A以原點為中心旋轉60度或-60度 即為B點的可能坐標 如圖所示 將A逆時針轉60度 經矩陣運算得B點坐標為 2減2分之根號3 2根號3加2分之1 將A順時針轉60度 經矩陣運算得B點坐標為 2加2分之根號3 -2根號3加2分之1 但B點在第一象限 所以B點坐標為 各位同學 我們這支影片已經介紹完旋轉變換矩陣 而在前面一支影片 我們也介紹了伸縮變換矩陣 下個單元 我們將用透過實例說明 利用矩陣乘法來進行伸縮與旋轉變換 包含伸縮與旋轉變換的合成變換 那麼我們下次再見喔