前面我們提到 我們常利用電腦將一張圖片 作等比例的放大或縮小 這樣的操作就是一種伸縮變換 另外我們也常利用電腦 將一張圖片作旋轉的處理 這樣的操作就是旋轉變換 前面我們提到 假如我們要做伸縮變換的話 我們可以利用伸縮變換矩陣來處理 也就是給定h k大於0 若以原點O為中心 將點P沿x軸方向伸縮h倍 沿著y軸方向伸縮k倍 得到點P' 則可得x' y'等於h 0 0 k乘以x y 但假如我們要做旋轉變換的話 我們可以利用旋轉變換矩陣來處理 也就是若將坐標平面上的點P 以原點為中心 旋轉θ角後變換到點P' 則可得x' y'等於cos θ -sin θ sin θ cos θ 乘以x y 那麼假如我們想要對圖片 同時作伸縮及旋轉的處理 在數學上 這樣操作的背後原理是什麼呢 關於對圖片同時作伸縮及旋轉的處理 我們可以像函數一樣 合成伸縮及旋轉變換 這時候就要考慮順序問題 到底是要先伸縮後旋轉 還是先旋轉後伸縮呢 舉例來說 我們對這張圖片作先伸縮後旋轉的處理 先以原點為中心沿x軸方向伸縮3倍 沿著y軸方向伸縮2倍 然後同樣以原點為中心 旋轉135度 我們可以看到圖形變換的過程 假如我們對這張圖片作先旋轉後伸縮的處理 先以原點為中心 旋轉135度 再沿x軸方向伸縮3倍 沿著y軸方向伸縮2倍 再看看圖形變換的過程 我們這兩種不同順序的變換下 最後的圖形擺放在一起看 很明顯的這兩種圖形最後是不一樣的 從而我們可以理解 伸縮變換與旋轉變換的合成變換 交換律不成立 一般而言我們可以像函數一樣 合成這兩種變換 以前面的例子來說 以原點為中心將點P 先沿x軸方向伸縮3倍 沿著y軸方向伸縮2倍 同樣再以原點為中心 旋轉135度 最後到點P' 我們可以用這個式子表示 假如將點P先以原點為中心 旋轉135度 同樣再以原點為中心沿x軸方向伸縮3倍 沿著y軸方向伸縮2倍 最後到點P' 我們可以用這個式子表示 經由矩陣乘法運算 我們可以得知伸縮變換矩陣 與旋轉變換矩陣的乘法交換律不成立 若將點P先以原點為中心 旋轉210度 再同樣的以原點為中心沿x軸及y軸方向 等比例伸縮2倍 最後到點P' 以及對點P先沿x軸及y軸方向 等比例伸縮2倍 再以原點為中心旋轉210度 最後到點Q 試問P'點及Q點是否為同一點 由前面的測驗中我們可以得知 假如是等比例伸縮變換 此時與旋轉變換的合成變換 交換律是成立的 例如我們以圖形變換操作來看 先以原點為中心 將這張圖片沿x軸及y軸方向伸縮2倍 再同樣以原點為中心 旋轉210度 以及先將這張圖片以原點為中心 旋轉210度 再同樣以原點為中心 沿x軸及y軸方向伸縮2倍 看看圖形變換的過程 結果我們發現 等比例伸縮變換與旋轉變換的 合成變換交換律是成立的 於是我們就提出以下結論 設等比例伸縮矩陣S等於h 0 0 h h大於0 旋轉矩陣Rθ等於 cos θ -sin θ sin θ cos θ 則SRθ等於RθS 因為經由矩陣乘法 我們可以得到SRθ等於 h cos θ -h sin θ h sin θ h cos θ 再一次利用矩陣乘法 我們得到RθS也等於 h cos θ -h sin θ h sin θ h cos θ 所以SRθ等於RθS 得證 最後我們再來看一道例題 在坐標平面上 O點 P點 且Q點在第一象限 已知三角形OPQ為等腰直角三角形 且角P等於90度 求Q點的坐標 我們分二步驟計算 第一步驟以O為中心 將P點逆時針旋轉45度後得P'點 而且P'落在線段OQ上 利用旋轉矩陣計算 cos 45度 -sin 45度 sin 45度 cos 45度 乘以7 3 等於2根號2 5根號2 得P'的坐標為 因為線段OQ等於根號2線段OP 等於根號2線段OP' 所以以O為中心 將P'點沿著x軸方向伸縮根號2倍 沿著y軸方向伸縮根號2倍後得Q點 利用伸縮矩陣計算 得Q的坐標為 變換的合成 各位同學 我們已經完成了有關伸縮變換 與旋轉變換的介紹 並以實例說明用矩陣乘法來進行 伸縮與旋轉變換 當中包含了伸縮與旋轉變換的 合成變換及應用 接下來的單元 我們將介紹過原點之直線的鏡射變換意義 並用矩陣來表示鏡射變換 那麼我們下次再見喔