在日常生活中

我們經常可以看到鏡射的例子

例如我們在網路上看到有人分享

利用攝影呈現一個標的物倒影的照片

或者我們自己的照片在電腦上

使用影像編輯鏡射功能所呈現的效果

在畫面中我們可以看到

原來圖形與後來圖形

看起來都是以某一條直線成對稱

我們先從點的對稱來看

點P對一條直線L之對稱點P'的意思是指

L是線段PP'的中垂線

此時直線L稱為鏡射軸或對稱軸

而兩個圖形的對稱

指的就是兩個圖形上的所有點

都是以某直線為鏡射軸或對稱軸

現在我們就來談談鏡射背後的數學原理

在前面的例子中

當鏡射軸是x軸時

就會像電腦上圖片鉛直翻轉的效果

當鏡射軸是y軸時

就會形成如電腦上圖片水平翻轉的效果

事實上鏡射也是一種線性變換喔

在前面的影片當中

我們有提到線性變換

只要1 0及0 1的變換結果確定了

那麼線性變換的矩陣也就確定了

例如 1 0及0 1

經二階方陣A分別對應至

與

那麼我們就可以知道線性變換矩陣A為

a c b d

當鏡射軸為x軸時

因1 0 0 1分別對稱到1 0 0 -1

可知鏡射軸為x軸時的鏡射變換矩陣為

1 0 0 -1

我們也可以從坐標變換的形式

寫出鏡射軸為x軸時的鏡射變換矩陣

即當P變換到P'

其中x'等於x等於x加0y

y'等於-y等於0x加-1y

我們利用矩陣運算得到

x' y'等於1 0 0 -1乘以x y

所以鏡射軸為x軸時的鏡射變換矩陣為

1 0 0 -1

當鏡射軸為y軸時

因1 0 0 1分別對稱到-1 0 0 1

可知鏡射軸為y軸時的鏡射變換矩陣為

-1 0 0 1

我們也可以從坐標變換的形式

寫出鏡射軸為y軸時的鏡射變換矩陣

即當P變換到P'

其中x'等於-x等於-1x加0y

y'等於y等於0x加y

我們利用矩陣運算得到

x' y'等於-1 0 0 1乘以x y

所以鏡射軸為y軸時的鏡射變換矩陣為

-1 0 0 1

因為A點B點

兩點斜率為-1

而直線L y等於x的斜率為1

因此直線AB垂直直線L

又A B兩點中點為

正好在直線L上

所以A B兩點對稱於直線L y等於x

換句話說

當鏡射軸為y等於x時

1 0 0 1分別鏡射到0 1 1 0

可知鏡射軸為y等於x時的鏡射變換矩陣為

0 1 1 0

接下來我們要來說明

給定過原點O且斜角為θ之鏡射軸的鏡射矩陣

我們這裡所說的斜角θ

是指直線與x軸正向的夾角

我們以正斜角來說明

設直線L為通過原點的直線

若直線L的斜角為θ

點以直線L為鏡射軸之對稱點

等同於在單位圓上

逆時鐘旋轉2倍θ角的位置

也就是1 0對應到cos 2θ sin2θ

同理因為直線L的斜角為θ

所以直線L與y軸正向的夾角為90度減θ

從螢幕上我們假設對稱點最後會落在

與x軸正向的夾角α的位置

所以-θ加α等於負的括號90度減θ

得到α等於負括號90度減2θ

最後會落在與x軸正向的夾角

負括號90度減2θ的位置

等同於點會變換到單位圓上

與x軸正向夾角負括號90度減2θ的位置

因為cos負括號90度減2θ

等於sin 2θ

且sin-90度減2θ等於-cos 2θ

最後我們得到0 1對應到sin 2θ -cos 2θ

因為1 0對應到cos 2θ sin 2θ

0 1對應到sin 2θ -cos 2θ

所以我們可得到鏡射軸斜角為θ的鏡射矩陣Mθ為

cos 2θ sin 2θ sin 2θ -cos 2θ

接下來我們來看一道例題

已知直線L的斜角為60度

試求A點對直線L的對稱點A'點坐標

我們知道直線L的斜角為60度

所以經計算得鏡射變換矩陣為

M60度等於-2分之1 2分之根號3

2分之根號3 2分之1

故A對L的對稱點坐標為

M60度乘A等於

-2分之1 2分之根號3

2分之根號3 2分之1

乘以4 2

等於-2加根號3 2根號3加1

即A'

各位同學

我們這支影片已經說明一些

通過原點之直線的鏡射變換

並用矩陣來表示此鏡射變換

接下來的單元

我們將推導y等於mx的鏡射矩陣

並用實例說明

給定直線y等於mx如何用矩陣做鏡射變換

那麼我們下次再見喔 掰掰