前面一支影片已經說明一些

通過原點之直線的鏡射變換

並用矩陣來表示此鏡射變換

也就是若以通過原點且斜角θ

θ大於-90度 小於等於90度的

直線L為鏡射軸

則平面上任一點P點

變換至L的對稱點P'

會滿足矩陣x' y'

等於矩陣cos 2θ sin 2θ sin 2θ -cos 2θ

乘以矩陣x y

現在讓我們用一道問題

來幫同學複習一下前面的概念

在看這道題目之前

我們先來複習一下

三角比的定義

若θ是一個標準位置角

在θ的終邊上任取非原點O的一點P

則我們定義

sin θ等於r分之y

cos θ等於r分之x

以及tan θ等於x分之y

其中x不等於0

三個三角比

從三角比的定義得知

假如有一條通過原點且斜角θ

θ大於-90度

小於90度的直線

那麼這條直線的斜率m

就會是tan θ

所以在前面的測驗中

我們想像x軸以原點為中心

逆時針轉θ後

其中θ介於-90度到90度之間

得到直線L為y等於根號3x

因此L的斜率為根號3

我們可以得知tan θ等於根號3

且角度θ等於60度

我們將θ等於60度代入

可以得到L為y等於根號3x

為鏡射軸的鏡射矩陣為M

等於矩陣cos 120度 sin 120度

sin 120度 -cos 120度

等於矩陣-2分之1 2分之根號3

2分之根號3 2分之1

因為A點坐標為

所以矩陣M乘以矩陣4 2

得到矩陣-2加根號3 2根號3加1

因此A對L的對稱點坐標為

前面的例子我們可以看出

斜角θ等於60度

然後再代入鏡射矩陣中

那是因為60度是特殊角的緣故

但假如斜角不是特殊角的話

是否可以利用鏡射直線的斜率

幫助我們求鏡射矩陣呢

我們現在再來看一道題目

設直線L為y等於2x

試求第一題

以L為對稱軸之鏡射矩陣M

第二題

點P對L之對稱點P'的坐標

我們想像x軸以原點為中心

逆時針轉θ後

其中θ介於-90度到90度之間

得到直線L為y等於2x

因此L的斜率為2

我們可以得知tan θ等於2

因此我們就可以畫一個鄰邊為1

對邊為2

斜邊為根號5的直角三角形

根據三角比的定義

得到sin θ等於根號5分之2

且cos θ等於根號5分之1

此時由二倍角公式

sin 2θ等於2sin θ cos θ

得到sin 2θ等於5分之4

且cos 2θ等於cos平方θ減sin平方θ

等於-5分之3

因此以直線y等於2x為對稱軸的

鏡射變換矩陣為M

等於矩陣cos 2θ sin 2θ sin 2θ -cos 2θ

等於矩陣-5分之3 5分之4 5分之4 5分之3

接下來我們要求點P

對直線L之對稱點P'的坐標

因為P點坐標

所以矩陣M乘以矩陣-2 1

得到矩陣2 -1

因此P點對L的對稱點坐標P'為

現在我們嘗試推導

以y等於mx為鏡射軸的鏡射矩陣

設直線L為y等於mx的斜角為θ

其中θ介於-90度到90度之間

所以tan θ等於m

我們可以將tan θ寫成1分之m的形式

想像有向角θ終邊上有一點

P點

那麼線段OP長度為根號1加m平方

那麼根據三角比的定義

得到sin θ等於根號1加m平方分之m

且cos θ等於根號1加m平方分之1

再由二倍角公式

得到sin 2θ等於1加m平方分之2m

且cos 2θ等於1加m平方分之1減m平方

我們再將sin 2θ與cos 2θ代入

可以得到以直線y等於mx為對稱軸的

鏡射變換矩陣為M

等於矩陣1加m平方分之1減m平方

1加m平方分之2m

1加m平方分之2m

-1加m平方分之1減m平方

各位同學

我們這兩支影片已經完整地介紹

通過原點之直線的鏡射變換

並且通過一些例子

說明給定直線y等於mx

如何用矩陣做鏡射變換

並以直線斜率表示鏡射矩陣

接下來的單元

我們將進入到推移變換

並且用矩陣來表示推移變換

那麼我們下次再見喔