放在桌上的一疊名片

側面看起來是一個矩形

施予橫向的力

使之改變擺放的情況

它們的側面仍為底長相同

高相同的平行四邊形

我們稱此為推移變換

其實推移變換也是一種線性變換喔

在前面的影片當中

我們有提到線性變換

只要矩陣1 0

及矩陣0 1的變換結果確定了

那麼線性變換的矩陣也就確定了

例如矩陣1 0及矩陣0 1

經二階方陣A

分別對應至矩陣a b與矩陣c d

那麼我們就可以知道

線性變換矩陣A為矩陣a c b d

說到推移變換

大致上可以分成兩類

一種是水平推移

另一種是鉛直推移

甚麼是水平推移呢

舉例來說

我們看到照片在一個單位正方形裡

我們想像將照片從左邊施予向右的力

變成右邊的樣子

我們放在一起看

發現它們的高度是一樣的

這就是水平推移

前面有提到

推移變換也是一種線性變換

那麼是否有一個矩陣

能將左邊的圖形對應至右邊的圖呢

由前面的影片我們知道

只要圖形中矩陣1 0及矩陣0 1的

變換結果確定了

那麼線性變換的矩陣也就確定了

假如右邊的照片是左邊的照片

水平推移y坐標的2倍而得

那麼點經推移變換得點

而點經推移變換得到點

最後我們得到右邊照片由左邊的照片

水平推移y坐標的2倍的水平推移矩陣為

矩陣1 2 0 1

我們可以類推

給定正實數k

水平推移y坐標的k倍

此時點變換到點

而點變換到點

得到水平推移矩陣為

矩陣1 k 0 1

我們以k大於0為例

畫出示意圖

從另一個觀點來看

當點P經過水平推移y坐標的k倍

得到點P'

其中x'等於x加ky

y'等於y

寫成矩陣形式可得矩陣x' y'

等於矩陣1 k 0 1乘矩陣x y

此時矩陣1 k 0 1稱為水平推移矩陣

同時我們也可以得到

矩陣x' y'等於矩陣x y

加y乘以矩陣k 0

這表示P點經水平推移變換後

得到P'點是固定P點的鉛直位置

而在水平方向依y坐標的值

平移k倍而得

至於鉛直推移

我們舉例來說

我們看到照片在一個單位正方形裡

我們想像將照片從下面施予向上的力

變成右邊的樣子

我們放在一起看

發現它們的寬度是一樣的

這就是鉛直推移

同樣地也有一個變換矩陣

能將左邊的圖形對應至右邊的圖

我們特別將這個矩陣

稱為鉛直推移矩陣

假如右邊的照片是左邊的照片

鉛直推移x坐標的2倍而得

那麼點經推移變換得點

而點經推移變換得點

最後我們得到右邊照片由左邊的照片

鉛直推移x坐標的2倍的鉛直推移矩陣為

矩陣1 0 2 1

我們可以類推

給定正實數k

鉛直推移x坐標的k倍

此時點變換到點

而點變換到點的鉛直推移矩陣為

矩陣1 0 k 1

我們以k大於0為例

從另一個觀點來看

當點P經過鉛直推移x坐標的k倍

得到點P'

則x'等於x

y'等於y加ky

寫成矩陣形式可得

矩陣x' y'等於矩陣1 0 k 1乘矩陣x y

此時矩陣1 0 k 1稱為鉛直推移矩陣

同時我們也可以得到

矩陣x' y'等於矩陣x y

加x乘以矩陣0 k

這表示P點經鉛直推移變換後

得到P'點是固定P點的水平位置

而在鉛直方向依x坐標的值平移k倍而得

各位同學

我們已經介紹完伸縮 旋轉 鏡射

及推移變換矩陣

接下來的單元

我們將進入到平行四邊形

經線性變換後的圖形

與面積之間的關係

那麼我們下次再見喔