各位同學 我們延續前面的推移矩陣 假如我們對一個單位正方形 將y坐標保持不變 沿x軸推移y坐標的2倍 此時點變換到點 點變換到點 我們可以看到原本的正方形 就變成一個平行四邊形 這是因為經過推移變換後 此時正方形的區域 對應到頂點為 及的四邊形區域 而它正是一個平行四邊形 事實上推移變換也是一個線性變換 由前面的例子 不禁使我們思考 單位正方形經由線性變換後的區域 是否為平行四邊形 在前面的影片當中 我們有提到線性變換 只要矩陣1 0及矩陣0 1的變換結果確定了 那麼線性變換的矩陣也就確定了 例如矩陣1 0及矩陣0 1經二階方陣A 分別對應至矩陣a b與矩陣c d 那麼我們就可以知道線性變換矩陣A 為矩陣a c b d 在前面的測驗中 因為線性變換將點對應至點 點對應至點 所以我們就可以知道線性變換矩陣A 為矩陣3 1 -1 2 接下來將矩陣3 1 -1 2乘以矩陣1 1 我們可以得到線性變換會將點 對應至點 我們可以看到由O點 及所圍成的正方形區域 經由變換矩陣3 1 -1 2 分別對應到O點 P點 R點 及Q點的四邊形區域 因為向量OP等於 且向量QR也等於 所以四邊形OPRQ為一平行四邊形 因此單位正方形經由矩陣3 1 -1 2 變換後的區域為一平行四邊形 但並非所有線性變換都能將單位正方形 變換為平行四邊形 舉例來說 線性變換矩陣-1 1 -2 2 將點及點分別對應至 向量OP等於 及向量OQ等於 我們發現向量OP與向量OQ兩向量平行 因此這兩向量無法圍成一個平行四邊形 我們前面提到單位正方形 經由線性變換後的區域 為平行四邊形的例子 事實上正方形也是平行四邊形 因此不禁使我們思考 平行四邊形經由線性變換後的區域 是否為平行四邊形呢 前面的單元中 我們知道向量經過線性變換後的圖形 必為向量 例如我們假設坐標平面上原點O為始點 向量OA等於 經過二階方陣T 等於矩陣3 1 -1 2變換後 就是向量OP 等於 向量OB等於 經過二階方陣T 等於矩陣3 1 -1 2變換後 就是向量OQ 等於 由向量OA及向量OB所圍成的 平行四邊形的區域為OACB 其中向量OC等於 正好就是向量OA加向量OB 而向量OC等於 經過二階方陣T 等於矩陣3 1 -1 -2變換後 就是向量OR 等於 此時我們可以看到由O A C及B 所圍成的平行四邊形區域 經由變換矩陣3 1 -1 -2 分別對應到O點 P點 R點 及Q點的四邊形區域 因為向量OP等於 等於向量QR 所以四邊形OPRQ為一平行四邊形 也就是平行四邊形OACB 經由矩陣3 1 -1 -2變換後的區域 為平行四邊形OPRQ 我們也可以從線性組合的觀點來看 設T等於矩陣3 1 -1 -2 因為T乘以矩陣-1 1 等於矩陣-2 -1 T乘以矩陣1 2 等於矩陣5 -5 T乘以矩陣0 3 等於矩陣3 -6 即T將向量OA 向量OB與向量OC 分別對應到向量OP 向量OQ與向量OR 又由矩陣運算性質得 T乘以括號矩陣0 3減矩陣1 2 等於T乘以矩陣0 3減T乘以矩陣1 2 等於T乘以矩陣-1 1 即T將向量OC減向量OB 等於向量BC 對應到向量OR減向量OQ 等於向量QR 所以矩陣-2 -1等於矩陣3 -6 減矩陣5 -5 即向量OR減向量OQ 等於向量QR 等於向量OP 故四邊形OPRQ為平行四邊形 答案不只一個 例如 矩陣1 1 1 1 向量經過線性變換後的圖形仍為向量 已知兩向量a向量 b向量 張成一平行四邊形 若a向量 b向量經由線性變換後 分別為u向量 v向量 u向量不平行v向量 則a向量 b向量所張成的平行四邊形 經線性變換後仍為平行四邊形 u向量平行v向量 則a向量 b向量所張成的平行四邊形 經線性變換後無法形成平行四邊形 這支影片我們舉例說明 平行四邊形經過線性變換後 還是平行四邊形的情形 也說明了並非所有的線性變換 都能將平行四邊形 變換至另一個平行四邊形 下支影片我們將說明經過線性變換前後 平行四邊形面積的變化 屆時就能進一步探討 平行四邊形經線性變換後 無法形成平行四邊形的充分條件 那麼我們下次再見囉