各位同學 我們前面一支影片 已經舉例說明 平行四邊形經過線性變換後 還是平行四邊形的情形 這支影片我們要進一步探討 經過線性變換T 變換前及變換後的平行四邊形 它們面積的關係為何 說到平行四邊形的面積 在這裡幫同學複習一下 平行四邊形的面積公式 已知向量OA等於 向量OB等於 則由向量OA及向量OB 所決定的平行四邊形面積為 ps減qr的絕對值 也就是行列式p r q s的絕對值 我們先以單位正方形經線性變換成 平行四邊形的情況 來探討變換前後它們的面積的關係 因為單位正方形可以視為 由及所圍的平行四邊形 其面積為1 所以我們假設已知一線性變換 將對應至 對應至 那麼變換後的平行四邊形面積為多少 我們可以看到變換後的平行四邊形 是由及所圍成的平行四邊形 所以我們可以得到變換後的 平行四邊形面積為 行列式3 1 -1 2的絕對值 等於7 在前面的影片當中 我們有提到矩陣1 0及矩陣0 1 經線性變換T 分別對應至矩陣a b與矩陣c d 那麼我們就可以知道 線性變換矩陣為a c b d 因為由該線性變換將點 對應至點 點對應至點 所以我們就可以知道線性變換矩陣為 矩陣3 1 -1 2 此時我們發現 變換後的平行四邊形面積 正好是線性變換矩陣的 行列式值的絕對值 也就是det矩陣3 1 -1 2的絕對值 等於7 單位正方形經線性變換矩陣變換後的 平行四邊形面積 剛好就是線性變換矩陣的行列式值絕對值 這不禁使我們思考 經過線性變換T 變換前及變換後的平行四邊形 它們的面積關係 是否和T所對應的 方陣之行列式值的絕對值有關 事實上對於任何線性變換T 若T所對應的方陣之行列式值不為0 那麼T都會將平行四邊形面積 變為原來面積的det T的絕對值倍 證明說明如下 設線性變換T等於矩陣a c b d 且行列式a c b d不等於0 如果P點 Q點 經過T等於矩陣a c b d 分別變換為P' Q' 那麼向量OP與向量OQ 所張的平行四邊形面積為 行列式s u t v的絕對值 向量OP'與向量OQ' 所張的新平行四邊形面積為 行列式s' u' t' v'的絕對值 因為矩陣s' u' t' v' 等於矩陣a c b d乘以矩陣s u t v 等於矩陣as加ct au加cv bs加dt bu加dv 所以由行列式的性質得知 行列式s' u' t' v' 等於行列式s u t v 乘以行列式a c b d 這個數學式的推論 假如同學有興趣的話 可以按暫停專研一下喔 因為行列式a c b d等於det T 所以我們得到 行列式s' u' t' v'的絕對值 等於行列式s u t v的絕對值 乘以det T的絕對值 所以平行四邊形 在經過線性變換T作用後 其圖形面積變為原來面積的 det T的絕對值倍 由前面的延伸思考中 我們已經得知旋轉 鏡射 推移等變換 都不會改變平行四邊形面積 最後我們已經學完高中課程中 有關線性變換的內容 不知道同學們有什麼心得及想法 歡迎在影片下方留言 那麼我們下次再見