各位同學

我們在這個單元要開始介紹

圓錐曲線與圓錐截痕

而在了解圓錐曲線還有圓錐截痕以前

我們先來看一下圓錐長什麼樣子

生活上用以維持交通秩序的交通錐

還有慶祝生日的生日帽

以及可口消暑的冰淇淋甜筒

它們的形狀像極了數學中的圓錐

但在數學的世界裡面

圓錐沒有太多花花綠綠的裝飾

反而有相當嚴格的定義喔

就讓我們來看看數學家們是怎樣定義圓錐

我們先從直圓錐開始說起

想像有兩條相交

不相垂直的直線L跟M

其中兩線所夾的角θ小於90度

接著我們把L當作軸線

維持夾角θ

讓直線M繞直線L旋轉一圈

所形成的曲面

我們稱呼它為直圓錐面

此時直線M我們會稱它為母線

L M兩直線的交點V

我們就稱它為直圓錐面的頂點

而上下兩個以頂點V相接的部分

就是我們數學中所說的圓錐囉

圓錐曲線是什麼

我們已經認識了圓錐

那圓錐曲線跟圓錐截痕又是什麼東西呢

圓錐截痕其實就是直圓錐面

和平面相截的幾何圖形

而這個圖形也可叫作圓錐曲線

接下來我們假設平面E

是一個不通過直圓錐面頂點的平面

我們來看看直圓錐面和平面E

可能相交的情況吧

當平面E與軸線L垂直

我們可以觀察到

它們所截的圖形為一個圓形

當平面E開始轉動傾斜的時候

兩者的截痕圖形則會變為橢圓形

若平面E繼續旋轉傾斜

直到與其中一條母線平行

這個時候平面E與直圓錐面的截痕

就是拋物線

如果再繼續旋轉平面E

使它與上下兩個圓錐相交

此時的截痕圖形會變成是雙曲線

剛剛所說的截痕

圓

橢圓

拋物線

還有雙曲線

就是我們常見的圓錐曲線

圓錐曲線的研究

可以追溯到西元前三世紀的希臘

著有幾何原本的歐幾里德

在當時就有給出了圓錐曲線的定義

而在他之後的阿波羅尼斯

更在他的著作圓錐曲線論裡面

整理了當時對於圓錐曲線的研究成果

明確定義了橢圓

拋物線

雙曲線

還介紹它們各自的特性

可以說早在2000年前

數學家們已經有對圓錐曲線

進行過深入透徹的研究了

圓錐曲線的歷史悠久

直到現代我們仍能在我們的日常生活中

看到它們的身影

位在新店區陽光運動公園內的陽光橋

就是一座拋物線的拱橋

像這樣的拋物線結構

不但可以為橋樑提供均勻的支撐力

穩定建築物

也可以藉著柔美的曲線和周遭的地景

融合成一個有文藝氣息的藝術品

另外我們從發電廠冷卻塔中

所觀察到的雙曲線

也因為其結構的建築設計

而有很多的優點

例如提供較大的進氣口

讓冷卻更具效率

極小的厚度跨度比

可以節省許多材料等等

此外雙曲線結構的曲面建築

可以均勻地分散壓力

承受更多側面力量

我們也還可以在水庫 水壩中

看到雙曲線的身影

而生活中的橢圓

雖然不像建築物那樣容易被觀察到

但其實我們腳底下的地球

正是依照橢圓軌道繞行太陽運動

十六世紀的哥白尼

在他的著作天體運行論裡面

發表了日心說

開始倡導地球是以圓形軌道

繞行太陽運動

雖然以圓形軌道繞行太陽的說法並不正確

但地球繞太陽轉的想法

也為後來的天體物理研究

帶來了新的氣象

過沒多久十七世紀的天文學家克卜勒

在研究了他的老師第谷的觀測數據

及哥白尼模型後

提出了地球以橢圓軌道繞太陽運動的理論

俗稱橢圓定律

也就是我們常說的克卜勒第一運動定律

除了在這個單元

我們有提到的建築物所具有的拋物線

雙曲線結構

還有地球繞行太陽的橢圓形軌道外

我們的生活中其實還有像衛星天線

或者是監視器等物品

也可以看到運用圓錐曲線的設計

下次留意到的話

不妨多想想看它們到底屬於

哪一種類型的圓錐曲線吧