各位同學我們在這個單元 要介紹拋物線的定義以及方程式 在我們進入拋物線的定義之前 我們先來看籃球員 斜向拋出籃球的運動軌跡 同時也回想一下拋物線的圖形 經由物理課所學的 拋體運動定理 我們可以把籃球的運動軌跡參數化 再進一步化簡成一個二次函數 y等於ax平方加bx加c 除了籃球以外 所有的物體拋出 都可以轉化成這種二次函數 所以二次函數的圖形 又可以被稱為拋物線 其實這個二次函數 y等於ax平方加bx加c 我們在國中曾經學過 我們還知道可以利用a值的正負 來判斷這個拋物線的開口方向 a大於0時 拋物線的開口向上 而當a小於0 拋物線的開口是向下的 在這個章節 我們除了會接續介紹開口向上 向下的拋物線外 我們還會介紹開口朝其他方向的拋物線 並介紹拋物線的幾何性質 以及方程式 我們先從拋物線的幾何定義開始說起 想像在平面上有一條定直線L 及L外的一定點F 我們可以找到一個點P 使得P點到直線L的距離 與P點到F點的距離相等 同樣地我們也可以找到另一點Q 滿足Q點到直線L的距離 等於Q點到F點的距離 重複上述流程 我們可以得到平面上 所有符合這個條件的點 此時這些點所形成的圖形 就是我們所說的拋物線 在認識拋物線的形成規則後 我們再用嚴謹一點的方式 重新講解一下規則 我們以d表P點到直線L的距離 線段PF表線段PF的長度 拋物線就是平面上所有滿足 P點到直線L的距離 等於PF線段長的P點所形成圖形 此時我們稱定點F為拋物線的焦點 直線L則為拋物線的準線 接著我們通過焦點F 畫出一條垂直L的直線M 直線M就稱作拋物線的對稱軸 也可以簡稱為軸 軸與拋物線的交點V 就是拋物線的頂點 頂點V到焦點F的距離 稱為焦距 我們通常把焦距記為c的絕對值 c不等於0 仔細觀察一下拋物線的圖形 我們經由拋物線的定義 知道V點到準線L的距離 等於VF線段長 所以焦點F到準線L的距離 d 就是等於2倍的c的絕對值 另外拋物線上任意兩點的連線段 我們稱為弦 而這些弦中 又有經過焦點的弦 我們稱為焦弦 如果焦弦又再垂直於軸的話 我們稱為正焦弦 如圖中的線段AB 且正焦弦平行準線L 已知AB線段為正焦弦 根據拋物線的定義 A點到L的距離等於AF線段長 且因為正焦弦AB平行準線L 所以A點到L的距離 等於F點到L的距離 等於AF線段長 也等於2c的絕對值 因為拋物線對稱於軸 正焦弦被軸平分 我們知道正焦弦AB等於2倍的AF 所以正焦弦長AB等於4倍的c絕對值 介紹完拋物線的幾何定義 看過了拋物線的圖形後 接下來我們要說明 在數學的世界裡 要怎麼精確地描述拋物線 為了讓我們更精準地描述拋物線 我們這個時候要借用數學世界裡 強而有力的工具 方程式 我們先想像一個單純的情況 頂點V落在原點 對稱軸為x軸的拋物線Γ 而P是拋物線上的一點 焦點為F 因為我們前面提到 線段VF等於c的絕對值 所以假設F點座標為 假如c大於0 此時焦點在頂點的右邊 拋物線的開口向右 準線L的方程式為x加c等於0 由拋物線的定義 我們可以推導出拋物線Γ的方程式 我們知道P點到準線L的距離 與P點到焦點的距離相等 等式兩邊平方之後 再移項整理後我們最後得到 y平方等於4cx 如果現在考慮c小於0的情況 我們也可以經由同樣的方法列出等式 並做整理 最後我們也會得到y平方等於4cx 但此時因為c小於0 焦點F在頂點V的左側 拋物線的開口向左 用類似的做法 此時對稱軸是y軸 頂點V落在原點 P是拋物線上的一點 焦點F的座標為 假如c大於0 焦點在頂點的上方 此時拋物線的開口向上 我們寫出準線L的方程式 y加c等於0 根據定義 P點到準線L的距離 與P點到焦點的距離相等 我可以寫下這個等式 d等於線段PF 等式兩邊平方以後 再移項整理後 我們最後得到x平方等於4cy 所以當c大於0時 我們可以畫出一個開口向上的拋物線 現在考慮c小於0的情況 我們也可以用同樣的方式列出等式 然後也會整理出等式x平方等於4cy 但因為此時c小於0 焦點F在頂點V的下方 可以觀察到拋物線的開口是向下的 答案為 在介紹了一系列的拋物線方程式之後 你是不是對它越來越熟悉了呢 但是你有沒有想過 這些拋物線方程式 究竟能怎樣在我們生活中派上用場呢 讓我們將畫面轉到拋物線形狀的隧道 已知隧道的頂部距離地面是4公尺 隧道的底部寬8公尺 假設一般卡車正面呈長方形 且車寬2公尺 則這個隧道允許最多為多高的卡車通行呢 依題意我們畫出開口向下的拋物線示意圖 並標示座標 拋物線通過頂點V 及 三點 我們將這三點帶入其一般式 y等於px平方加qx加r 解三條聯立方程式 可得p等於-4分之1 q等於0 r等於0 拋物線方程式Γ可改寫成 x平方等於-4y 已知卡車為長方形 車寬2公尺 所以我們可以先想像卡車恰好通過隧道 和拋物線交於點A及點B 接著將點A與點B的座標 A B 分別代入拋物線方程式 可解得A B 此時我們可以求出 隧道可容納的最大車高 為點A至地面的距離 為-4分之1減去-4 也就是3.75 所以這個隧道可以讓最高3.75公尺的卡車經過 最後讓我們複習今天的重點 拋物線的定義 拋物線上任一點P 到準線L的距離 與P點到焦點F的距離相等 d等於PF 下個單元我們會介紹另外一個 圓錐曲線 橢圓 讓我們敬請期待吧