各位同學

還記得第一冊有學過

平面上到一定點的距離

為定值的所有點

所形成的圖形是圓

那平面上到兩定點的距離

和為定值的所有點所形成的圖形

會是什麼呢

我們來畫圖探究看看

事實上這個圖形就是我們常常聽到的橢圓

橢圓的幾何定義

給定平面上兩相異定點F1 F2

及一定值2a

滿足2a大於線段F1F2

平面上所有滿足線段PF1加線段PF2

等於2a的P點

所形成的圖形稱為橢圓

而定點F1與F2稱為此橢圓的焦點

圖上的A B C D E G H I

這8個點

到F1與F2的距離和皆為6

因此都在橢圓上

用平滑曲線將這些點連起來

會得到橢圓的概略圖形

在畫圖的過程中

我們發現橢圓是一條封閉曲線

並且左右對稱 上下對稱

因此我們稱線段F1F2的中點O

為橢圓的對稱中心

簡稱中心

設線段F1F2等於2c

可得線段OF1等於線段OF2等於c

直線F1F2與橢圓的兩個交點

A1 A2稱為頂點

線段F1F2的中垂線

與橢圓的兩個交點B1 B2

也稱為頂點

換言之橢圓共有四個頂點

線段A1A2稱為橢圓的長軸

因為A1在橢圓上

所以線段A1F1加線段A1F2等於2a

又因為O為線段F1F2的中點

線段OF1等於線段OF2

我們發現線段A1F1加線段A1F2

等於線段A1F1加括號線段A1O

加線段OF2

等於括號線段A1F1加線段OF1

加線段A1O

等於2倍的線段OA1

所以線段OA1等於a

同理線段OA2等於a

因此中心O是長軸

線段A1A2的中點

且長軸長線段A1A2等於2a

線段B1B2稱為橢圓的短軸

其長度習慣用2b表示

根據橢圓的對稱性

可知b等於線段OB1等於線段OB2

因為B1在橢圓上

由橢圓的幾何定義可知

線段B1F1加線段B1F2等於2a

又因為線段B1B2為線段F1F2的中垂線

我們得到線段B1F1等於線段B1F2

等於a

最後因為三角形B1OF1為直角三角形

由畢氏定理可知

a平方等於b平方加c平方

將以上性質整理如下

橢圓的性質

設F1與F2為橢圓的兩焦點

且橢圓上任意點到兩焦點的距離和為2a

令O為中心點

線段A1A2為長軸

線段B1B2為短軸

中心O點同時為線段F1F2

長軸線段A1A2與短軸線段B1B2的中點

長軸長線段A1A2等於2a

當短軸長線段B1B2等於2b

且線段F1F2等於2c時

常數a b c滿足

a平方等於b平方加c平方

由橢圓的幾何定義

可以推導出橢圓的標準式

設橢圓的中心在原點

長軸之半為a

短軸之半為b

設長軸在x軸上

則橢圓的標準式為

a平方分之x平方

加b平方分之y平方

等於1

設長軸在y軸上

則橢圓的標準式為

b平方分之x平方

加a平方分之y平方

等於1

若對推導過程有興趣的同學

點閱高三數甲二次曲線的影片

會有詳細的介紹唷

在日常生活中

很容易看到橢圓形的物品

像是橢圓形的鏡子

橢圓形的餐桌

斜切的小黃瓜片

若將小黃瓜視為圓柱體

則截面的邊界是橢圓

便利商店的手捲斜切

若將手捲視為圓柱體

則截面的邊界也是橢圓

豐田汽車的logo

是用三個橢圓所組成的

同學們也可想想

生活中還有哪些地方有橢圓的身影唷

在這個單元中

我們學到了橢圓的幾何定義

以及橢圓的性質

大家可以試著透過畫圖

或電腦軟體探究看看

我們下個單元會揭曉答案

敬請期待唷