在上一個單元

我們學到平面上到兩相異定點F1 F2

距離和為定值2a

其中2a大於線段F1F2

所有點P所形成的圖形為橢圓

那麼平面上到兩相異定點F1 F2

距離差的絕對值為

定值2a的所有點P所形成的圖形

又是什麼呢

我們來畫圖探究看看吧

先將拉鍊拉開一段

剪下其中一邊的拉鍊

讓兩邊拉鍊長度相差2a

接著將兩點分別固定在

紙板的點F1與F2上

將筆尖放在P處並撐直拉鍊

隨著拉鍊逐漸拉開或閉攏

筆尖會畫出一條曲線

在拉開或閉攏的過程中

因為兩邊拉鍊長度同時加 減一個定值

所以筆尖到F1 F2兩端點的距離差還是2a

接著調換拉鍊的兩邊

將長的一端固定在F1

短的一端固定在F2上

得到另一開口的曲線

我們將這樣的圖形稱為雙曲線

雙曲線的幾何定義

給定平面上兩相異定點F1與F2

及一定值2a

滿足2a大於0小於線段F1F2

平面上所有滿足

線段PF1減線段PF2的絕對值

等於2a的P點所形成的圖形

稱為雙曲線

而定點F1與F2稱為此雙曲線的焦點

這邊要注意

因為三角形兩邊差小於第三邊

所以2a必定小於線段F1F2

下圖是以F1 F2為圓心的兩組同心圓

各組六個同心圓的半徑

分別為1 2 3 4 5 6

且線段F1F2等於4

如果有一雙曲線以F1 F2為焦點

且此雙曲線上的點

到F1與F2的距離差為2

試利用同心圓的交點找出雙曲線上的點

並利用平滑的曲線連接起來

觀察一下會發現A點在以F1為圓心

半徑為4的圓上

以及以F2為圓心

半徑為6的圓上

因此A點到F1與F2的距離差為2

同理

這些點到F1與F2的距離差皆為2

因此都在雙曲線上

利用平滑曲線將這些點連起來

會得到雙曲線的概略圖形

在畫圖的過程中

我們發現雙曲線有兩條非封閉曲線

並且左右對稱 上下對稱

因此我們稱線段F1F2的中點O

為雙曲線的對稱中心

簡稱中心

設線段F1F2等於2c

可得線段OF1等於線段OF2等於c

直線F1F2與雙曲線的兩個交點A1 A2

稱為頂點

線段A1A2稱為雙曲線的貫軸

因為A1在雙曲線上

所以線段A1F2減線段A1F1等於2a

又因為O為線段F1F2的中點

線段OF1等於線段OF2

我們發現線段A1F2減線段A1F1

等於括號線段A1O加線段OF2

減線段A1F1

等於線段A1O加括號線段OF1減線段A1F1

等於2倍的線段OA1

所以線段OA1等於a

同理線段OA2等於a

因此中心O是貫軸線段A1A2的中點

且貫軸長線段A1A2等於2a

在過中心O且垂直貫軸的直線上

當線段B1B2的中點為中心O

且其長度線段B1B2等於2b

滿足c平方等於a平方加b平方時

稱線段B1B2為雙曲線的共軛軸

我們將以上性質整理如下

雙曲線的性質

設F1與F2為雙曲線的兩焦點

且雙曲線上任意點

到兩焦點的距離差之絕對值為2a

令O為中心點

線段A1A2為貫軸

線段B1B2為共軛軸

則中心O點同時為線段F1F2

貫軸線段A1A2

與共軛軸線段B1B2的中點

貫軸長線段A1A2等於2a

當共軛軸長線段B1B2等於2b

且線段F1F2等於2c時

常數A B C滿足

c平方等於a平方加b平方

由雙曲線的幾何定義

可以推導出雙曲線的標準式

設雙曲線的中心在原點

貫軸長之半為a

共軛軸長之半為b

設貫軸在x軸上

則雙曲線的標準式為

a平方分之x平方

減b平方分之y平方

等於1

設共軛軸在y軸上

則雙曲線的標準式為

a平方分之y平方

減b平方分之x平方

等於1

若對推導過程有興趣的同學

點閱高三數甲二次曲線的影片

會有詳細的介紹唷

這邊要注意

雙曲線的a永遠代表貫軸長之半

b永遠代表共軛軸長之半

兩者不必然有大小關係

若天花板上有一個圓錐形燈罩的美術燈

燈罩的軸線與牆面平行

則當開燈時

光源照在牆面上形成光影的邊界

為雙曲線的部分圖形

正六邊形鉛筆

以削鉛筆機削尖後

邊上的弧線是雙曲線的部分圖形

這是因為這個弧線可以看成是

圓錐跟平面的交線

再舉一個例子

我們說x與y成反比

像是x y滿足xy等於1

那麼x與y的關係圖也是雙曲線

在這個單元中

我們學到了雙曲線的幾何定義

以及雙曲線的性質

到目前為止我們已經認識

拋物線 橢圓

雙曲線的幾何定義及其性質

下個單元我們將介紹

這些圓錐曲線的應用

敬請期待唷