每次去速食店點薯條

都會因為要點中薯和大薯所困擾

薯條的量到底差多少呢？

哪個比較划算呢？

要不要加價換大呢？

而之前有人實測

比較過兩者數量

竟然只差了三根

但這種計算方式其實並不嚴謹

因為每一條的長度、重量都不相同

因此可能秤重會比較好

譬如這個秤的最小刻度是10公克

指針在120到130公克之間

因此我們可以讀出約123公克或123.4公克

但是其中的3或是3.4都小於最小刻度

所以是估計出來的

因此此時我們留一位估計值

只寫123公克就好

我們就稱為有效位數

餘下多寫的數值其實意義不大

而圖中中薯97.6公克

大薯123.3公克是如何獲得呢？

是只量一次嗎？

但每次都會一樣嗎？

就讓我們來好好地探討一下吧！

一個單擺來回擺動一次

大家怎麼量比較好？

請同學先預測看看

是從旁邊量還是中間量比較穩？

實驗前

先請同學準備一條25cm棉線、

一個重物和一個計時工具

分別進行實驗測量後

完成此表

現在各位同學都獲得自己的數據了！

做五次後得到平均

有辦法辨別哪個穩嗎？

大家可能會覺得是右邊

因為跟平均的差值比較小

而離平均的差值

我們又稱為離均差

那就讓我們來把這個差值寫下來吧！

那我們該如何表示這個穩的差異呢？

可能會想是不是可以加總起來呢？

那就請同學加起來看看吧！

同學是不是發現加總後為0

其實這都是因為有些數值有負號

那該怎麼辦呢？

請至少寫下兩種消掉負號的方法

來避免總和為零

有人想到取絕對值或平方

但哪個比較好呢？

就讓我們來一起討論看看吧！

兩間鉛筆工廠做出了各自的鉛筆

哪一間的鉛筆長度差異比較大呢？

我們可以依照剛剛的作法

先取平均再計算離均差

離均差取絕對值相加的結果

左邊是4個單位

右邊是4個單位

竟然無法判斷哪個差異度比較大

而如果使用離均差取平方相加的結果

左邊是8個單位

右邊是6個單位

我們可以發現取平方可以放大分佈情況

將差異程度放大

所以取平方是比較好一點的方式

因此

想要表達穩的程度

可以這麼做！

第一

量測數據取平均值

第二

計算離均差

第三

平方

但越多組的離均差平方和會讓整體數值變大

所以還要怎麼做比較合理呢？

沒錯！就是取離均差平方和的平均值

但是由於數值經過平方處理過

這個物理量有意義嗎？

那該怎麼辦呢？

所以我們還要開根號

讓數值所代表的物理量回到原本的單位

綜上所述我們可以看到

科學家用標準差來表示分佈密集度

或是數據穩定度

標準差的處理步驟是先量測多次數據

再取平均值算出離均差

取平方是為了避免負號並放大差異程度

最後取平均再開根號讓單位還原回原物理量

有些同學會覺得標準差的數學式很複雜

那標準差在使用上有何意義呢？

其實

當事物隨機發生時

極端的情形會很少

以隨機擲一粒骰子3回來說

每次都擲到6或每次都擲出1

使得3次平均是6或1的機率很小

大多數的情況會是2次大1次小

或是2次小1次大

3次的平均會靠近3.5

出現像鐘形中間機率大兩端機率小的分佈

這樣的分布會有百分之68.2的機率

在正1個標準差與負1個標準差之間

如果是平均值加減兩個標準差的範圍

隨機取數據值

就會有百分之95的機率落在這個範圍中

因此如果數據值夠多

卻又大多落在這個範圍外的話

數據值的可信度就會大打折扣喔！

智商的量測也是利用這個模型

智商非常高與非常低的人不多

我們將一般人的智商平均值定為100

若智力測驗得分高於平均值1個標準差

則為15個單位

測驗得分超過1個標準差時智力為115

若智力測驗得分高過一般人2個標準差

智商是130 就可以被認為是天才

而世紀天才愛因斯坦的智商

據說是高於160

平均值正4倍標準差

由此可見愛因斯坦真的不是平常人

那就讓我們來複習一下這堂課所學到的內容吧！

數據紀錄要注意有效位數

有效位數由量測工具所能測得的精確值

加上一位估計值所組成

標準差可以用來表示出數據間的分布狀況

可表示量測數據的穩定程度

數據可信度

取決於是否多次量測下

數據點能否有百分之95

落在平均值加減2個標準差以內

若有

數據才會較有可信度喔！

最後一起想一想

如果單擺擺動都是從中間開始量

每來回擺盪10次測一次數據

測了五組數據

跟每來回擺盪5次

測了10組數據

量測的次數不同

會不會影響標準差的數值呢？

如果有

又是如何影響呢？

那該怎麼表示穩定度呢？

歡迎留言讓我們知道

下次見囉！bye bye!