招待朋友來家裡玩

難免要準備一些零嘴和飲料

如果今天零嘴準備餅乾和薯條

要準備多少呢？

我們可以一起來評估看看

假設每人抓一把

每把餅乾的平均數量是4個

平均標準誤差是1個

而每把薯條的平均數量是3條

平均標準誤差是2條

那各一把的總數量應該就是兩者相加算總和

可是不同的不確定度A怎麼加呢？

今天我們就來討論一下這個話題吧

我們或許可以先抓個範圍區間

那最多跟最少數量應該是多少呢？

當我們都取最多

餅乾數量就是4加1個共5個

薯條數量就是3加2個共5個

總數量最多就會是10個

如果當我們都取最少

餅乾數量就是4減1個共3個

薯條數量就是3減2個共1個

總數量最少就會是共4個

觀察這兩種結果

我們可以怎麼去表示呢？

請同學自己寫寫看

我們似乎可以把各抓一把的數量表示成7加減3個

也就是各抓一把大約有4到10個

但是加減這樣子去表示可以嗎？

4加3是平均值直接相加

那1加2的部分所要表達的意思是什麼呢？

我們給一點提示

一種分佈圖型

沒錯

就是常態分佈圖型

真值在平均值左右一倍平均標準誤差的範圍間

有百分之68的可能

但當兩個數據相加組合起來後

還有滿足百分之68嗎？

我們一起來慢慢思考

如果抓一把餅乾4加減1個

有一個常態分佈圖

抓一把薯條3加減2條

有一個常態分佈圖

但抓一把在這個範圍中的機率是各百分之68

所以要同時滿足在這個範圍間的機率

就會是百分之68乘上百分之68

大約是百分之46

我們會發現小於百分之68

那該怎麼辦呢？

或許同學會覺得這樣想有點複雜

不是很直觀

那我們換另一種方式討論

我們把它簡化成

多抓、少抓、剛好

三種情況

薯條數量3加2左右是多抓

3減2左右是少抓

3左右是差不多剛好

餅乾也是類似

4加1左右是多抓

4減1左右是少抓

4左右是差不多剛好

所以抓一把薯條或是餅乾

各自多抓或少抓的機率是3分之1

那各抓一把有多少種可能呢？

同學不妨按一下暫停想想看

答案是9種

如果排列組合不太擅長的同學我們一起用窮舉法

就可以得到這個表格

那麼剛好都少抓的機率或是剛好都多抓的機率是多少呢？

沒錯

就是9分之1

比原本3分之1的機率還要低很多

如果要維持原本的常態分佈狀況

該怎麼辦呢？

所以我們可以發現太極端可能機會太小

但抓到半個或是半條呢？

機率就會上升一點

所以我們只要不要抓那麼多或那麼少

中間剛剛好

所以我們整理一下思緒

之前表示成加減

就是把兩個不確定度直接相加的表示方法機率有問題

因為抓薯條和抓餅乾這兩件事情是彼此相互無關

各自有各自的機率分布

那我們該怎麼表示才能把彼此獨立無關的機率合併呢？

同學可以按個暫停想想看

日常生活中

有沒有甚麼類似的合併方式吧

我們這邊提供一個例子

譬如小孩走路

小孩向北走3公尺

向東走4公尺

彼此走的方向毫不相關

一個是南北向

一個東西向

但不管哪個先走

最後都到一樣的位置

所以此時終點離出發位置有多遠呢？

這時候用畢氏定理就能輕鬆得到

向東偏北走了5公尺

所以在彼此獨立不相干的不確定度加法中

國際標準做法是把兩個不確定度利用畢式定理的方式組合在一起

所以我們可以把原本的4加3加減1加2

修正為4加3加減1的平方加2的平方開根號

我們可以發現1的平方加2的平方開根號小於1加2

就像我們前面所說的小一點就剛剛好

所以我們總結一下不確定組合的加法

在彼此獨立不相關數據相加上

平均值這個準確數值就跟大家過去經驗相同直接相加即可

不確定度部分則要利用畢氏定理組合在一起

才能維持機率分布的合理性

而如果彼此相關的

譬如向東走和向西走

彼此是同一條線上的關係

組合上就會直接相加

剛剛的狀況是一種

但不同狀況需要不同的組合方式

譬如剪紙

我們要剪一個長方形出來

但是剪長和寬的時候難免有誤差

那剪出來的長方形面積誤差有多少呢？

我們都知道長方形面積是長乘以寬

所以我們的另一種不確定度組合方式就是乘法

同學不用太擔心

方法都一樣

就先來討論一下範圍吧

最大的面積狀況會是甚麼呢？

對

就是每邊都是最長的狀況

所以可以得到最大面積

同理最小就是每邊都是最短的狀況

可以得到最小面積

但這樣表示似乎不是我們平均值平均標準誤差的形式

所以我們要還需要展開來

最大面積和最小面積

經過數學運算

兩項乘兩項

展開會得到4項

那可以怎麼組合呢？

同學按個暫停試試看吧

沒錯

實際上長邊A加小a可能的實際數值會是10加0.1公分

所以在實際狀況下

A遠大於小a

短邊也會得到相同結果

就是B遠大於小b

所以我們會把ab相乘項忽略掉

就會得到面積

但同樣的問題在常態分布上

一倍的平均標準誤差間機率是否是百分之68呢？

同樣的

我們簡化成各三種情況討論

組合上一樣會有九種

所以同時長短邊都是少留或是多留的狀況只有9分之1

因此如果能留小多或是留小少就會剛剛好

但乘法該怎麼修正呢？

我們可以對應加法的結果

剛好把1和2兩項利用畢氏定理合併成一組不確定度

同理

我們可以把bA和aB利用畢氏定理合併成一組不確定度

以國際上不確定度的相乘形式表示

我們一起來回顧這堂課的重點吧

數據表示為平均值加減平均標準誤差

不確定度的組合可以分為

兩組互相獨立的數據相加

兩組互相相關的數據相加及兩組數據相乘

在本堂課中

我們學會了不確定組合中的加法和乘法

但四則運算中有四種

加減乘除

那不確定度遇到需要減法或除法時

應該怎麼處裡呢？

歡迎分享你的想法喔

我們下次見囉

bye bye