小均在一直線道路上騎腳踏車時 在天空的空拍機記錄小均 時間與位置的關係如表格所示 且第2秒時折返 因為小均不是作等速運動 所以並不容易從表中看出運動的情況 如果我們以此圖表示 也不容易看出小均運動快慢的變化 那怎麼辦呢？ 我們可以以時間t為x軸 位置x為y軸 利用描點方式將上個問題的表畫出x-t圖 從此圖我們可以得到以下訊息 首先 可以知道時間第幾秒時小均的位置 例如3秒時的位置為5公尺 此外 可利用割線斜率求某時間間隔內的平均速度 例如時間在0到2秒間的平均速度 根據之前的定義 平均速度可寫成 ν bar等於delta x 除以delta t 等於末位置減初位置除以末時間減初時間 因此將數字代入可寫成 0到2秒間的平均速度 等於7減2除以2減0 等於2分之5 此式稱為第1式 如果用圖來看 0到2秒相連的直線斜率以數學方式表示為 割線斜率等於delta y除以delta x 等於7減2除以2減0 此為第2式 我們可以發現 第2式和第1式的寫法與答案完全一樣 因此我們算某時間間隔內的平均速度 就等於x-t圖的割線斜率值 x-t圖上某點的切線斜率 等於此時間的瞬時速度 在之前的單元有說過 瞬時速度等於平均速度 當分母的時間間隔趨近0 如果要算時間在1秒時的瞬時速度 我們以圖來看 當時間間隔趨近0時的割線斜率 等於切線斜率 等於1秒時的瞬時速度 因此我們可以發現 由表中都不容易算出來的瞬時速度 卻可以在圖上求出切線斜率即可 在這要提醒你兩件事 雖然x-t圖上看到的線是曲線 但小均是做「一維的直線運動」 斜率算出來如果是負值 代表速度方向向左 若有一列火車 其速度與時間關係如表格所示 我們如果畫成速度v與時間t圖 將會更容易得到更多的訊息 （假設向右邊為正方向） 由此圖我們可以得到 第幾秒時火車的速度 例如40秒時的速度為每秒40公尺 第200秒的速度為0 也可利用割線斜率 求某時間間隔內的平均加速度 例如時間在0到80秒間的平均加速度 根據之前的定義 平均加速度可寫成 a bar等於delta v除以delta t 等於末速度減初速度除以末時間減初時間 將數字帶入 0到80秒的平均加速度 等於50減0除以80減0 等於8分之5公尺每秒平方 此式為第3式 如果用圖來看 0到80秒相連的直線斜率以數學方式表示為 割線斜率等於delta y除以delta x 等於50減0除以80減0等於8分之5 此為第4式 我們可以發現 第3式和第4式的寫法與答案完全一樣 因此我們算某時間間隔內的平均加速度 就等於v-t圖的割線斜率值 此外 v-t圖上某點的切線斜率 等於此時間的瞬時加速度 在之前的單元有說過 瞬時加速度等於平均加速度 當分母的時間間隔趨近0 如果要算t等於40秒的瞬時加速度 我們以圖來看 當時間間隔趨近0時的割線斜率 等於切線斜率等於40秒時的瞬時加速度 最後 v-t圖和時間軸圍起來的面積等於位移 例如畫面中的圖 可以看出物體從0到6秒 都是以等速度每秒10公尺前進 因此位移等於10乘6等於60公尺 如果速度是向左每秒10公尺 也就是每秒負10公尺 走了3秒 則位移等於負10乘3等於負30公尺 （負號代表向左邊走） 而面積上位移的正負值是可以相消的 例如畫面v-t圖中 車子在0到6秒以等速度每秒10公尺、 6到9秒以等速度每秒負10公尺移動 因此0到9秒間的位移 等於60加負30等於30公尺 除此之外 如果不是等速度運動 也可以用v-t圖面積求出位移 畫面中為一車子的v-t圖 可以看出t等於0到5秒時 速度由0增加到每秒10公尺向右 5到15秒以每秒10公尺等速度向右 15到20秒減速到v等於0 則0到20秒的位移 就等於梯形面積150公尺 在之前單元我們說過 每經過1秒 速度的變化就是加速度 在此我們以最常見的等加速度運動為例 有一車子的初速為每秒4公尺 加速度為每秒平方5公尺 方向向右 加速度a與時間t（0到10秒）的關係圖 如畫面所示 此a-t圖的功能有 0到10秒間任何時刻的加速度 都是每秒平方5公尺 例如t等於6.8秒時 加速度也是每秒平方5公尺 此外 a-t圖的面積是速度變化量delta v 我們可以這樣想 車子從0秒到1秒時 速度由0增加到每秒5公尺 到2秒時速度又增加每秒5公尺 也就是變成每秒10公尺 經過10秒 速度增加到每秒50公尺 代表速度增加量為delta v 等於每秒50公尺 因此若車子的初速度為每秒4公尺 則在第10秒時的速度 就是4加50等於每秒54公尺 如果從a-t圖直接求面積 5乘10等於50 就直接可以算出速度增加量delta v 至於a-t圖上的斜率沒有物理意義 回到片頭的x-t圖 我們可以由斜率發現第1秒時速度是正的 第2秒為0 第3秒速度就變負的 而第4秒的速度大小和第3秒差不多 因此可以由x-t圖中看出速度的變化 我們來統整一下學到的重點 x-t圖的斜率會等於速度v 而v-t圖的斜率會等於加速度a a-t圖的面積會等於速度的變化量delta v 而v-t圖的面積則會等於位移delta x 最後小試身手一下吧！ 下圖為車子的v-t圖 請試著將它改畫成a-t圖