各位同學 你們是否都有這樣的經驗 站在動物園園區 或任何景點的地圖前 卻不知道自己在哪裡？ 看到想去的地方 也總是不知道該往哪裡走 通常在地圖上 我們都會看到長得像大頭釘的圖標 它代表著你目前的「所在位置」 以自己為參考點 就可以知道通往各個位置的距離與方向 而一個物理量的描述如果需要用到「方向」與「大小」 我們就稱這個物理量為「向量」 在進入正題前 我們先來複習運動學裡的物理量吧 許多物理量具有方向性 例如：位置、位移、速度⋯⋯等 如果物體處在一維運動當中 我們會訂出一個原點 並以單一方向為正 其相反方向為負 舉例來說 若是用x軸來描述一維運動 則向右為正、向左為負 代入數字來看 假設一個質點的起點位置為負1公尺、位移為正5公尺 我們可以得知它 「向右移動5公尺 且終點位置為正4公尺」 又或者 在鉛直拋體運動中 我們可以假設向上為正 加速度的描述為a向量等於負9.8公尺每平方秒 這裡的負號 代表此物理量的方向是向下的 現在來說說線性的一維運動 和平面的二維運動有何不同 在一維運動中 我們利用正負號制訂單一方向的前後方 不過 運動學通常不會只有一個方向 如果這時 兩個向量之間出現「夾角」 那該怎麼辦呢？ 這樣說好了 假設今天 我們將鉛直上拋運動的初速度旋轉一個角度 使得初速度和加速度不在同一直線上 那就會形成所謂的「斜拋運動」 你應該可以發現 這兩個向量會形成一個平面 也就是說 我們無法只用數線來描述這兩個向量 這時我們必須引進平面向量的概念 僅有的一個數線座標 已經無法描述兩個具有夾角的向量 所以我們得利用兩條數線座標解決這個問題 就像地球的經緯線一樣 能充分敘述物體在地球上的位置 也就是「平面座標系」 我們借用平面座標系的概念 放到拋體運動來看 就能以向量所橫跨的x與y的長度 描述平面向量的大小與方向 描述平面向量的大小與方向 例如 初速度為5公尺每秒、仰角為37度 若以水平為x軸、鉛直為y軸 可看得到此速度向量的x部份長度為4 y部分長度為3 所以此向量可以表示為 由於x與y長度互相垂直 我們可以把它看成是一個直角三角形 兩股平方和等於斜邊平方 代入數字就是3平方加4平方等於5平方 這樣便和一開始所知道的條件相符合 也就是向量長度為5的速度大小 同樣的道理 由於加速度鉛直向下 因此它的向量在x部分長度為0 y部分則為9.8 可以表示為 我們把這個概念用等加速度運動來說明 現在 我們把這個概念用等加速度運動來說明 首先是平面向量的加法計算 等加速度運動的其中一個公式是v等於v0加at 我們可以把它看成是「C向量等於A向量加B向量」 當我們已經知道如何表示平面向量後 接著要瞭解向量如何加總 在數學上 向量的加法有兩種方式 分別是「頭尾銜接法」 也就是三角形法 還有「平行四邊形法」 舉個例子 假設我們站在動物園的入口 先到臺灣動物區看了雲豹 再到無尾熊區觀賞無尾熊 此路程有兩段位移 分別是A與B 若要以頭尾銜接法計算向量加總 我們可以從位移的定義來思考 據位移定義 從起點指向終點的直線距離與方向 也就是向量C 根據整段位移可以描述為從起始點到最終位置的C 所以可以看成A加B等於C 若是平行四邊形法 則是將兩段向量A與B的起點重疊 並以此畫出平行四邊形 從起點到對面頂點的對角線 就是合成向量C 在座標表示方面 可以將x部分與y部分分開計算 也就是說 若向量A為 向量B為 向量C等於向量A加向量B 則可表示為C等於等於 再來 我們談談平面向量的分解計算 由向量的加法可知 任何單一向量 也可以表示成另外兩個向量的加總 將向量有效地分解可以簡化問題 但分解向量有無窮多種的可能性 該如何決定呢？ 處理物理問題時 這個方法相當重要 因為在運動學上 兩個互相垂直的分解向量 它們的運動是互相獨立的 也稱為運動獨立性 因此在處理平面運動問題時 會將向量分解為兩個互相垂直的獨立向量 例如x分量與y分量 並將兩個維度分開計算 可以大幅降低問題的複雜程度 講了這麼多 我們來總結今天的所學吧 首先 可利用向量表示具有方向性的物理量 以平面座標系描述平面向量 可表示為A等於 其中 Ax為此向量的x分量 Ay為此向量的y分量 向量加總的圖形表示法有兩種 分別為頭尾銜接法與平行四邊形法 再來 如果向量A為 向量B為 若向量C等於A加B 則可表示為C等於等於 在運動學或力學中 可以利用平面座標系訂出x軸與y軸 並將物理量分解為x分量與y分量 兩分量獨立處理 方便簡化問題 最後我們來想想看 除了運動學的物理量 還有哪些物理量也需要利用向量去表示呢？ 歡迎留言告訴我們你的想法喔 下次見囉 bye bye