大家小時候有沒有去遊樂園玩過呢？ 你會發現 大多數的遊樂設施 比如說摩天輪、天女散花 或狂飆飛碟 它們都有個共通點 沒錯！就是旋轉 若撇除高度的要素不談 這三個遊樂設施的刺激度應該差異頗大 摩天輪應該不容易感受到急速的刺激感 而狂飆飛碟的快速旋轉 造成的刺激度就很大 但你可曾想過 究竟是哪個物理量的差異 導致我們有刺激度不同的感受呢？ 不妨思考你身處在以下兩個情境 第一 是以時速兩百公里等速度行駛的高鐵內 第二 則是在時速四十公里下緊急剎車的公車內 你覺得以上兩個情境 哪個會比較刺激？ 呃⋯⋯說刺激其實不好 應該說 哪個情境會讓你的身體感受到劇烈的「變化」呢？ 顯然我們要探討的 不應該是速度快慢 而是速度變化的劇烈程度 也就是加速度 加速度越大 人的感受可能是越刺激 或是越危險 今天我們要探討的 就是物體作圓周運動時的加速度 在運動學的章節中 我們瞭解質點的速度與加速度之間的關係 如果質點的速度與加速度維持相互平行 那麼經過一段時間後 改變的只有速度的量值 在折返以前 速度的方向不會改變 如果質點的速度與加速度維持相互垂直 那麼經過一段時間 改變的只有速度的方向 而速度的量值則不會改變 而質點做等速率圓周運動時 等速率就是速度的量值不改變 但速度的方向會不斷地改變 很顯然 質點做等速率圓周運動時 質點的速度與加速度之間的方向關係 就是維持相互垂直 而且 既然加速度與速度垂直 那就代表此加速度就是「法線加速度」 也就是指向軌跡圓心的加速度 又稱為「向心加速度」 接下來 我們進入主軸囉！ 在嚴謹地用數學推導向心加速度之前 我們先來從日常生活的感受來討論 首先 我們想像一下車子以等速率過彎的情境 過彎其實是圓周運動的一小部分 所以過彎可以對應到一個圓周運動的半徑R 那麼向心加速度量值ac與過彎速率v 圓周運動的半徑R之間 又有什麼關係？ 當圓周運動的半徑R固定時 若過彎的速率越快 車上乘客感受到的速度變化劇烈程度就越強 也就是說 過彎速率越快 向心加速度量值越大 另外 當過彎速率固定時 圓周運動的半徑R越大 車上乘客感受到的速度變化劇烈程度反而越弱 所以 半徑越大 向心加速度量值越小 這裡我們整理一下 簡單來說 過彎速率越快或圓周運動的半徑越小 則向心加速度越大 我們暫時不知道他們之間的次方關係 但可以肯定的是 質點以固定的速率 繞固定半徑的正圓形軌道作等速率圓周運動 向心加速度的量值也會固定 接著 我們再用嚴謹的數學推導 來證明向心加速度的關係式 質點作等速率圓周運動時的向心加速度 它的量值雖然固定 但方向並非固定 而是在每個不同的位置都指向圓心 每個瞬間的加速度都不相同 所以我們要探討的是瞬時加速度 所謂瞬時加速度 就是極短暫時間內的平均加速度 公式如畫面所示 我們先從比較長一段時間找速度變化delta v 此時速度變化與始末速度向量的關係是如此 當分析的是極短暫的瞬間 始末速度向量所夾的角度delta theta就越來越小 我們不難看出 速度變化與始末速度向量所畫出的弧長 幾乎一樣長 也就是以速度量值為半徑 轉delta theta所畫出的弧長 故速度變化的大小 可以近似為弧長 其中limit delta t趨近於零 delta t分之delta theta等於omega 則瞬時加速度的量值就可按公式推導出來 最終等於v乘以omega 最後 把等速率圓周運的速率v等於R omega 代入剛才的結果 ac等於v omega 就可以得到向心加速度的數學關係 也就是說 ac等於v omega 等於R omega平方 由於omega等於R分之v 代入ac等於R omega平方 就會導出R分之v平方 再將v等於T分之2 pi R代入 便會得到ac等於T平方分之4 pi平方R 到這可以看出 向心加速度量值和過彎速率v 與圓周運動半徑R之間 明確的次方關係為 ac等於R分之v平方 這和我們剛才預測的吻合 過彎速率越快或圓周運動的半徑越小 向心加速度量值則越大 來統整一下這段影片的重點內容吧！ 等速率圓周運動中 向心加速度 顧名思義就是指向圓心的加速度 而此處指向圓心 代表加速度方向一定與切線速度垂直 故向心加速度只改變速度的方向 最後 向心加速度量值與速率平方成正比 與圓周運動的半徑成反比 在前面的例子中 我們提到車子轉彎時 車內乘客感受到速度變化的劇烈程度 其實就是指加速度 而加速度的來源其實就是不為零的合力 不妨思考一下 當車子向右急轉彎的時候 你覺得你受到的力 是向左還是向右的呢？ 歡迎分享你的想法 我們下次見囉！Bye bye！