你是否曾看過或體驗過這項遊樂設施呢？ 我們先來看一下這段影片 你有沒有觀察到一個現象 原本遊樂設施的繩索是下垂的 但隨著轉動越來越快 漸漸地繩索變成斜的 而遊樂設施上的乘客也漸漸地被往外甩 如果想像我們是從正上方的角度觀察乘客 其實乘客就是在做圓周運動！ 而轉速漸漸變快 對於繩索的傾斜程度有甚麼影響呢？ 是不是被向外甩的感覺會更明顯？ 這裡指的快慢又是甚麼呢？ 又或者乘客的重量不同會不會影響甚麼物理量呢？ 這就與我們最近討論的圓周運動原理有關了！ 首先 物體做圓周運動一定要有向心力 特別要小心的是 向心力並非是一個直接產生的力 而是由各種來源的作用力所產生的合力 朝向圓軌跡的圓心被當作向心力來使用 如畫面所示 有一個物體同時受到F1與F2的力作用 且該物體只受這兩個力就可作等速率圓周運動 於是我們可將此情境進行力學分析 由向量的獨立性選定一組直角坐標系統 再由向量加法的平行四邊形法找出合力方向 為沿著x軸指向圓周運動軌跡的圓心 那麼我們就可以稱這兩個力的合力被物體當作向心力來使用了 所以並不是另外繪製一個力作為向心力喔！ 而在天女散花的遊樂設施當中 作圓周運動的乘客是受到哪些作用力？ 向心力是由甚麼提供的呢？ 讓我們利用「向量的獨立性與合成分解」來分析吧！ 首先 讓我們把剛才的遊樂設施做個簡化 如畫面所示 擺錘在某一水平面做圓周運動稱為錐動擺 我們先將其中幾個會用到的物理量的符號定義好 有擺繩長度L、擺錘質量m 擺錘速率v 以及擺繩與鉛錘線夾角theta 而作圓周運動的擺錘勢必有受向心力作用 那是什麼力被當作向心力來用呢？ 我們仿照前面的分析 畫力圖後定下適當的直角座標來分析 第一：選定擺錘為受力物體 第二：將擺錘受到的力畫出來 默契上會先畫超距力也就是重力 接著再畫接觸力 此處擺錘僅與繩子有所接觸 故接觸力僅有繩張力 且是由擺錘方向沿繩子方向指向懸掛點 第三：定適當的直角坐標 令水平方向為x 鉛直方向為y 第四：列出運動方程式 其中x方向僅有繩張力在水平方向的分量 從畫面中可看出此分量的大小為Fsin 而y方向則有繩張力的鉛直分量Fcos與重力mg 因為擺錘在固定的水平面上作圓周運動 故可知道鉛直方向的合力為零 即列出畫面上的兩個式子 而水平方向合力即為擺錘所受的合力 也就是被擺錘拿來 當作圓周運動時所需的向心力來使用 所以我們現在只要解出剛才第四步驟列出的方程組 結合圓周運動的向心力公式 並整理鉛直方向的關係 也就是x方向及y方向作用力量值大小如畫面上的式子 然後再把移項得到的F帶入上式 整理一下可以得到畫面上的式子 其中需要特別小心的是該式子中的R也和角度有關 於是將此半徑關係代入上式 整理一下 可得到的式子如畫面所示 最後再整理成我們想要探討的物理量關係 也就是畫面上速率與角速度大小的關係式 因此 就可由此結果看出擺錘運動速率與擺繩角度關係 或擺錘圓周運動角速度大小與擺繩的角度關係 甚至可以看出擺錘運動快慢皆與擺錘質量無關 有了上述的討論 就能夠回答影片最一開始提出的問題 天女散花設施的轉速漸漸變快 對於繩索的傾斜程度有甚麼影響呢？ 是不是被向外甩的感覺會更明顯？ 這裡指的快慢又是甚麼呢？ 又或者乘客的重量不同會不會影響甚麼物理量呢？ 讓我們一個個來解答 這種被向外甩的力其實就是乘客處在非慣性座標下感受到的離心力 此力的大小會和向心力大小一樣大 那麼我們把剛才提到的向心力 就是乘客受到的合力的式子拿出來看一下 其中向心力的大小就是mgtan 所以當繩索越傾斜 也就是theta越大 向心力就會越大！ 那如果轉速漸漸變快 也就是角速度量值增加 於是由剛才推導出來的式子可以看出 如果在不改變擺繩長度的情境下 theta必須變大才能維持等式成立 故轉速越快 擺繩越傾斜 又或者是從另一個式子來討論看看 如果是運動的速率越快 也可以看出theta也必須變大才能維持等式成立 故運動速率越快 擺錘也是越傾斜 然而從剛才兩個有關快慢的式子可知 錐動擺的運動皆與擺錘質量無關 故乘客質量不會影響擺的週期、角速度 運動速率以及傾斜程度 但質量越大時 作圓周運動的向心力就越大 故所需的繩張力也會比較大 所以此時繩索是否足夠牢固就非常重要了！ 最後讓我們來總結一下這支影片的學習內容 錐動擺的擺錘作圓周運動 且作圓周運動一定要有向心力 錐動擺的擺錘是由擺繩張力的水平分量當作向心力使用 且擺錘運動週期與擺繩角度皆與擺錘質量無關 而錐動擺的週期如畫面所示 不知道大家有沒有看過 和開頭動畫中的遊樂設施不太一樣的天女散花設施 如果乘客是遊玩如畫面中的設施 並且作圓周運動 你能夠利用圓周運動的知識探討出圖中兩個不同的角度 是誰大誰小嗎？ 歡迎留言分享你的想法 我們下次見囉！ bye bye