你知道嗎？

賽車比賽中

在彎道的部分經常做成傾斜的跑道

用一般人口語的說法大概是：

賽車轉彎時車速很快

離心力會非常大

所以做成傾斜的跑道才不會被甩出去！？

真的是這樣嗎？

而且賽道一定要傾斜才能讓賽車過彎嗎？

水平賽道就沒辦法安全的過彎嗎？

有什麼限制呢？

這些問題讓我們來回想一下圓周運動就能夠回答囉！

在慣性座標中

物體作圓周運動一定有向心力

且向心力是物體受一個以上的作用力時

其指向圓心的合力

只是在非慣性座標中感覺起來像是被往外甩

所以稱為離心力

這個在前幾支影片中我們已經探討過囉！

那麼我們要在慣性座標中來探討賽車在傾斜或水平賽道上過彎時

賽車的受力情形

我們先來探討傾斜賽道上的賽車過彎

並且先將問題簡化

令賽道與賽車輪胎間沒有摩擦

且賽車過彎時的瞬時速度是水平方向

也就是說賽車會以固定的水平高度彎過這個彎道

那麼我們從賽車的正後方觀察就會像這個樣子

假設傾斜坡道與水平夾角為theta

而過彎的曲率半徑是R

如此我們便能選取賽車為受力體來作力學分析

在無摩擦力的賽道上

賽車受到的力有重力與正向力

接下來我們要定直角座標

從以往的經驗來看

在此可以定出兩種直角座標來分析

一種是水平方向與鉛直方向

另一種則是沿著斜面方向與垂直面方向

這兩種都沒有錯

那你覺得哪種比較方便呢？

為了數學上方便

在此建議選定與加速度方向平行的方向為其中一軸

在這個例子中

因為汽車在固定水平高度過彎

所以不會有高度變化

也就是鉛直方向沒有加速度

只有水平方向有加速度

所以選擇水平與鉛直的直角座標來分析

由剛才的判斷就能列出兩個方向的運動方程式

首先鉛直方向合力是零

即N cos theta等於mg

水平方向合力作為賽車作圓周運動時所需的向心力使用

整理一下這兩個式子

賽車在傾斜角度固定的無摩擦彎道上過彎時

其受到的向心合力固定為mg tan theta

此時如果再限制賽車僅能在某固定的水平高度過彎

其對應的曲率半徑也固定

那麼

賽車過彎的車速、圓周運動角速度甚至是圓周運動週期

都會受到限制

利用我們以前學過的向心力

為mv平方除以R等於m R omega 平方

等於mR 4 pi平方除以T平方

然後依序把速度、角速度以及週期三個物理量移項得到關係式

再把剛才已知的條件代入

也就是theta和R固定

所以對應的這三個物理量也都會受到限制

再細想一下這三個物理量其實代表相同的事情

因為v等於 R omega 等於2 pi R除以T

也就是說當賽車要安穩地從同一水平高度過彎時

僅能以某一個車速過彎

但如果以別的車速過彎會發生什麼事呢？

我們先想像一下

如果是車上乘客的非慣性座標視角

那麼車速過快時被往外甩的離心力會變大

那是否就被往外甩了呢？

反過來的話是否就會滑下去呢？

再根據剛才我們推導出來的速度關係式

如果車速變快

且賽道還是同一個所以傾斜程度相同

那麼該式中只剩下R可以改變

而且會和車速正相關

所以如果車速變快曲率半徑R也要變大

那麼賽車就會向外滑上去了

反之

如果車速太慢就會往下滑囉

然而真實的賽車過彎其實是有受到摩擦力的

無論車速快一點或慢一點都不至於造成往外甩或向內滑的現象

不過過快或過慢就有可能了

這樣討論下來

你能夠判斷這個摩擦力是屬於靜摩擦力還是動摩擦力嗎？

而摩擦力的方向是沿著斜面向內還是向外呢？

傾斜的路面討論起來比較複雜

我們先把問題再簡化

先討論水平粗糙路面上的賽車轉彎

在這影片開頭我們有討論慣性座標下觀察賽車過彎受向心力的問題

向心力是指向圓心的合力

那麼我們現在要來分析賽車過彎時的受力情形

賽車受到重力、正向力以及地面給予的摩擦力

由我們剛才探討的內容可以注意到

只有在車速過快的情況才會造成車子被往外甩動

也就是突破了摩擦力的極大值

是否有一點頭緒了呢？

其實我們仔細想像一下輪胎皮與路面接觸與相對運動的狀況

在理想的滾動條件下

輪胎皮與路面接觸的部分其實並沒有速度

就像是我們人在走路時

人體的整體是有速度的

但是與地面接觸的腳底板只是接觸了又離開

換另一腳接觸再離開

在接觸時並沒有發生滑動

所以輪胎滾動與人正常行走時

接觸面都是沒有發生滑動的

於是此接觸面的摩擦力是屬於靜摩擦力

那這個靜摩擦力的方向要向內還是外呢？

在非慣性座標系中

你可以解讀成阻止賽車被往外甩

所以靜摩擦力要向內

而在慣性座標系中

因為正向力與重力方向與指向圓心方向垂直

所以只有靜摩擦力可以做為向心力來使用

所以靜摩擦力要指向圓心

也就是向內

在畫完力圖後

定水平方向與鉛直方向為直角座標較方便

在鉛直方向沒有高度變化

所以合力是零

水平方向只有靜摩擦力

做為向心力用

於是列出這兩個式子

在由向心力為mv平方除以R

等於mR omega 平方

等於mR 4 pi 平方除以T平方

不難看出在相同曲率半徑的車道上轉彎

車速越快所需的向心力越大

但如果所需的向心力超過最大靜摩擦力

那麼靜摩擦力將不足以提供做為向心力用

於是賽車與路面間的接觸面將發生相對滑動

摩擦力變為較小的動摩擦力

那麼賽車就會沿著切線方向滑出去很容易發生事故

在這我們簡單做個總結

如果賽車是在傾斜無摩擦的賽道以固定水平面安穩過彎

則車速為畫面所示

其中g為重力加速度大小

R為彎道曲率半徑

theta為傾斜角

若不以此速率過彎則可能往上或往下滑

此時就需要摩擦力來維持穩定過彎

如果賽車是在粗糙的水平路面過彎

那麼靠的就是路面施予賽車指向圓心方向的靜摩擦力

來做為向心力使用

但若車速過快則可能造成打滑的危險

所以現在我們知道為什麼光滑跑道要做成傾斜的了！

因為需要正向力的水平分量做為圓周運動所需的向心力

而水平的路面就需要摩擦力來做為向心力使用

那如果是傾斜又粗糙的路面是由甚麼力做為向心力呢？

一起來思考看看吧！

我們下次見

bye bye