如果

向下挖出一條貫穿地心的通道

並跳入其中

會發生甚麼事呢？

我們的運動模式會是怎樣？

我們會受到怎樣的力作用？

速度又會怎麼變化？

雖然

這個問題很異想天開

但如果這樣的工程可行

是不是以後就不用搭長途飛機了呢？

經過了上次的課程

我們知道簡諧運動是在直線上來回的往復運動

離開平衡點時

物體會受力被往回拉

運動的速度也會有相應的變化

但所有在直線上來回的往復運動

都是簡諧運動嗎？

它有沒有更嚴謹的定義呢？

要回答這個問題

我們先來分析一下綁在彈簧上的物體

當彈簧沒有被壓縮或伸長時

彈簧不會有回復原長的趨勢

物體所受合力為零並維持靜止

此時

物體的位置稱為「平衡點」

若在光滑平面上

將彈簧向右拉長一段距離並釋放

彈簧將會來回運動

這個運動的過程中沒有摩擦力作用

不會有能量的損失

而其運動範圍的兩端

稱為「端點」

兩端點的正中間

就是平衡點的位置

當右端點出發

再回到同一個位置時

即經歷了一次完整的振動

振動的幅度

即為平衡點到端點的距離

稱為「振幅」

一次振動

物體會走過四個振福

若以平衡點為原點

位移向右為正、向左為負

我們先來看看簡諧運動的位移

物體由平衡點向右抵達右端點

再折返向左回到平衡點的過程

彈簧都是「向右」伸長的狀態

位移為「正」

當物體通過平衡點

持續向左運動抵達左端點

再折返向右回到平衡點的過程

彈簧都是「向左」壓縮的狀態

位移為「負」

接著

我們來看看彈力的方向

當彈簧是「向右」伸長的狀態時

彈力會「向左」拉回物體

當彈簧回到原長時

形變量為零

此時彈力也等於零

而當彈簧是「向左」壓縮的狀態時

彈力則會「向右」推擠物體

你發現了嗎？

當彈簧有形變量時

位移的方向與彈力的方向會恰好相反

根據虎克定律

彈力與彈簧的形變量成正比關係

形變量越大

彈力越大

當彈簧的形變量為x時

彈力F的大小為kx

可以寫成F等於負的kx

這個負號就是代表彈力的方向與形變量相反

而這樣的受力型態

將可以讓物體作簡諧運動

也就是說

若我們要判斷物體是否作簡諧運動

可以看它的受力狀態

是不是可以寫成這樣的形式

只要受力型態與彈簧類似的物體

都會作簡諧運動

讓我們來看幾個例子吧！

第一個例子

我們來看看單擺

小角度的擺動時

幾乎像是在直線上往復來回運動

這是簡諧運動嗎？

如果要判斷

可以來看看它的受力狀態

經過分析

它的受力型態可以寫成這個形式

這和彈簧的受力型態相同嗎？

我們比較一下就可以發現

主要不同的地方是mg除以l

若單擺的質量m與擺長l皆固定

那麼mg除以l可以看作是常數k

單擺的受力型態就與彈簧上的物體相同了

因此

我們可以推知

小角度的單擺運動

也是一種簡諧運動

第二個例子

我們來看看浮在水面上的木塊

靜止時

向下的重力與向上的浮力平衡

若我們將它下壓一段距離後放手

木塊會在水面上來回擺動

這是簡諧運動嗎？

經過分析

它的受力型態可以寫成這個形式

A為木塊截面積、d是液體密度

公式中的Adg就好像是彈簧物體受力公式中的k

是一個常數

從這裡可以推知

水上木塊的受力型態

與彈簧上的木塊相同

都屬於簡諧運動

最後一個例子

我們來判斷彈力球從一定高度釋放後

落地再彈起

在沒有能量損耗的狀況下

不斷重複落地再彈起

也是上下來回往復運動

這是簡諧運動嗎？

思考它的受力型態

在不與地板接觸的運動過程

僅受重力作用

受力型態寫為F等於mg

為定值

不會隨著彈力球的位置改變

與彈簧上物體的受力型態並不相同

因此

雖然它也是來回往復的運動

但它並不是簡諧運動

我們來想想這個題目吧

跳入貫穿地心的通道

人到底會如何運動呢？

若我們與地心的距離為x

經過分析

人的受力型態可以寫成這個形式

在x前面的這些都是常數

所以

跳入通道的人

會在這條通道上

以地心作為平衡點、地球的兩端為端點

在直線上來回作簡諧運動喔！

若想要到地球的另一端

記得在抵達對面時

張開雙手撐住爬出來喔！

讓我們來總結一下

在這個單元我們學到

若物體的受力大小

與位移大小成正比

且受力與位移的方向相反

受力狀態可以寫成F等於負的kx時

就代表物體正在作簡諧運動喔！

最後一起來想一想

如果把彈簧懸掛起來

讓物體在鉛直方向上來運動

它是簡諧運動嗎？

歡迎留言分享你的想法

我們下次見囉！

Bye bye！