你是否曾在無雲的黑夜裡 望著璀璨的星空呢？ 西元1610年的一月 科學家伽利略拿著改良倍率後的望遠鏡 朝向木星的方向作長時間的觀測 他發現了圍繞著木星旋轉的衛星們 這個發現 與當時教會 所宣揚的宇宙觀水火不容 全宇宙應該只能有一個中心 也就是地球 伽利略究竟是觀察到甚麼樣的現象 讓他確信宇宙中有其他的「中心」呢？ 讓我們試著從另一個角度看等速率圓周運動 是不是很像簡諧運動呢？ 物體沿著一直線來回往復運動 但這個是簡諧運動嗎？ 若要確認這件事 我們可能需要先試著寫寫看 受力與位移的關係是否能夠寫成這樣的公式！ 而在開始之前 先帶大家回想一個學過的重要概念「運動的獨立性」 投籃時 分析籃球的運動 在水平的X方向上 不受外力 會作等速運動 在鉛直的Y方向上 因為受到向下的重力 會作等加速運動 所以 讓我們來試著寫出等速率圓周運動在水平方向的受力與位移關係吧！ 若等速率圓周運動投影就是簡諧運動 那麼圓周運動的半徑R就是簡諧運動的振幅 若將圓心位置設為原點 正X方向設為0度 那麼當物體走到30度時 其X座標為二分之根號三R Y座標為二分之一R 當走到45度時 其X座標與Y座標皆為根號二分之一R 當走到任意角度theta時 其X與Y座標即為R cos theta與R sin theta 所以 對應到水平方向的投影時 位移x即為R cos theta 接著 我們來分析物體的受力 一個物體之所以會作等速率圓周運動 是因為它受到一個大小固定且方向指向圓心的力F 當圓周運動走到30度時 將F作分力 在水平方向上的分力方向向左 大小為二分之根號三F 表示為負二分之根號三F 鉛直方向上的分力方向向下 大小為二分之一F 表示為負二分之一F 當走到45度時 其受力在水平與鉛直方向皆為負根號二分之一F 走到任意角度theta時 其水平方向與鉛直方向的分力即為負F cos theta與負F sin theta 所以 對應到水平方向的投影時 受力即為負F cos theta 現在 我們可以來看看水平方向的受力與位移 在數學上是否可以寫成關係式 水平方向的分力關係式是否符合我們稍早提到的公式呢？ 沒錯！ 因為式子中的F與R皆為定值 所以它符合簡諧運動的受力型態 我們終於能從數學上來證明等速率圓周運動的投影 就是簡諧運動 證明這件事情有甚麼好處呢？ 在這之前 我們學過的運動有以下幾種 合力為零的等速運動 受定力作用的等加速運動 受大小固定 方向指向圓心的等速率圓周運動 簡諧運動相較之下 複雜許多 不但受力大小隨時改變 方向也不固定 但若知道簡諧運動就是等速率圓周運動的投影 那麼 就能透過等速率圓周運動的概念來分析簡諧運動了！ 伽利略用改良後的望遠鏡觀察木星 起初他以為這些在木星周圍的小星是恆星 但持續觀測之後他發現 這些小星在木星周圍反覆的出現 讓他開始猜想這些小星與木星的關係 可能和月亮與地球的關係相同 伽利略追蹤紀錄的小星總共有四顆 在1611年三月中旬的夜裡 他發現這四顆小星都不見了 他猜測可能是恰好小星們都運行到木星的正前方或正後方 這一刻 他按下了紀錄的碼錶 仔細地記錄每顆小星出現後 隨時間的位置變化 發現它們以木星作為中點 在一定的範圍間來回作簡諧運動 至此 他幾乎可以確認 這四顆小星就是木星的衛星 其實 衛星們實際上並非在兩點間直線來回運動 而是繞著木星作圓周運動 伽利略觀測的角度 恰巧像是看到等速率圓周運動的投影 後來 有學者以電腦模擬這四顆衛星的公轉 計算每三個小時 衛星位置的變化 若標示出旋轉半徑最小的衛星 大致上可以看到其位置的變化就是簡諧運動位移的變化 在這個單元 我們學到 圓周運動的投影就是簡諧運動 透過圓周運動來輔助分析簡諧運動 能讓我們更輕易地分析簡諧運動 試著思考看看 如果在某個適合觀星的夜裡 你整夜沒睡把望遠鏡對準了木星的方向 並恰好觀察到它的某個衛星從木星附近出現 從出現到運行至最西邊端點要折返 大概花了10.6個小時 你可以推知它還需要多久的時間才能回到最西邊的端點嗎？ 歡迎分享你的想法 我們下次見囉！ Bye bye！