你看過日食嗎？ 當月球走到地球和太陽中間 部分的太陽光被月球遮擋 而在地球上形成影子 當我們處在這些影子的區域裡 就能看到日食 那麼 我們有多久的時間可以看日食呢？ 足夠我們泡一杯咖啡坐下來、愜意的欣賞這個天文景觀嗎？ 這其實會和太陽、月球、地球彼此間的運動有關係 「物體的投影」是我們很常用來分析運動的方式 簡諧運動中的物體 方向和快慢都隨時間不斷改變 既然我們知道簡諧運動就是等速率圓周運動的投影 若能透過投影來分析 將能大大簡化問題 談到投影 你應該不陌生 若在大太陽底下撐開一把傘 地上影子的形狀大概是一個圓形 如果調整雨傘的角度 影子的形狀和範圍也會跟著改變 收起這把直傘 讓它平行地面 影子會變成一條線 當我們旋轉這把傘 可以看到影子的長度變短、再變長的過程 如果雨傘的長度是L 和水平線的夾角是theta 那影子的長度在數學上可以表示成Lcos 雨傘長度如果是0.5公尺 當旋轉到與水平線夾角37度的時候 影子的長度就是0.5乘上cos37度 等於0.4公尺 接下來 我們分別從不同運動的物體 來分析速度的投影量 一台向右等速行駛的車子 以向右的箭頭代表速度的大小與方向 若我們看投影在地上的影子 它的速度會跟車子一樣 向右作等速運動 或者是一台向右等加速行駛的車子 速度會越來越大 影子的運動會和車子相同 速度越來越大 若是從高處向下丟出物體 物體的速度也會越來越大 但投影在地上的影子將維持靜止 但若是看著投出的籃球 速度的大小與方向都會隨著時間改變 若看投影在地上的影子 它會跟籃球在水平方向的運動相同 作等速運動 其實 這些影子的運動模式 就是物體在水平方向上的運動 影子的速度 就是物體運動速度的投影量 也就是水平分量 簡諧運動是等速率圓周運動的投影 若把速度的箭頭畫出來 因為是等速率 所以箭頭的大小都不會改變 但方向會不斷變換 指向切線方向 因此 將等速率圓周運動的水平分量畫出 就是簡諧運動的速度了 接著我們來分析 當簡諧運動走到幾個不同位置時 它的速度大小分別是多少？ 假設等速率圓周運動的速率為V 並以正X的方向的夾角來描述圓周運動的位置 當簡諧運動走到右端點時 速度是多少呢？ 我們可以向上畫出輔助線 對應到0度角的位置 此時的速度大小為V、方向向上、水平分量為零 所以抵達右端點的瞬間 速度為零 當簡諧運動繼續往左走到二分之R的位置時 速度是多少呢？ 在這個過程中 彈力的大小不斷改變 若要從受力、加速度來計算速度 是很複雜的 但既然知道這是等速率圓周運動的投影 只要跟剛剛一樣向上畫出輔助線 利用三角形的邊長長度 就能推出它對應到60度角的位置 此時速度和水平方向的夾角為30度、大小為V 所以水平分量為二分之根號三V、方向向左 這就是簡諧運動物體此時的速度 當簡諧運動走到平衡點的位置時 向上畫出輔助線 對應到90度角的位置 速度V方向向左 即為水平分量 簡諧運動的速度可以表示為向左的V 當簡諧運動繼續往左走到平衡點左邊五分之三R的位置時 速度是多少呢？ 可以按下暫停鍵試試看喔 一樣向上畫出輔助線 透過三角形的邊長推出角度 圓周運動對應到127度角的位置 此時速度和水平方向的夾角為37度 V的水平分量為五分之四V、方向向左 所以簡諧運動此時的速度就是五分之四V向左 只要利用相同的方法 我們就能求出簡諧運動走到不同位置的速度了 回到我們在片頭提到的日食 這是當太陽、月亮、地球大致排成一直線時 月亮的影子落在地球上 若我們恰好在這個影子的範圍內 那麼就能看到日食 而月亮的影子在地球上走過的範圍 就是可以看到日食的地區 例如：發生在2010年7月11日的日食 影子通過大部分的南太平洋地區 還有南美洲的阿根廷和智利的南端 當在地球上的投影走得越快 可以觀察日食的時間就越短 像2010年的這次日食 影子掃過地球的時間大約持續了5分20秒 若是在智利南端看日食 會發現影子走的非常快 其實可以欣賞日食的時間是非常短暫的 我們來總結一下重點吧 簡諧運動是等速率圓周運動的投影 我們可以畫出輔助的圓形來看看簡諧運動對應到的位置 計算水平分量找到速度的大小和方向 在左右兩個端點時 速度的水平投影量為0、簡諧運動的速度為0 當走到平衡點時 速度的水平投影量最大 簡諧運動的速度為V 而當走到任意位置時 就可以對應角度、並計算速度的水平分量 掌握這些原則 就可以求出任意位置的速度了 你家裡有細繩嗎？ 可以試著綁一個物體並甩動 讓它作鉛直面的圓周運動 你覺得影子是在作簡諧運動嗎？ 歡迎留言分享你的想法 我們下次見囉 Bye bye