你是否曾經帶上一杯飲料

坐在公園的鞦韆上與人聊天？

愉快的午後時光

微風吹來

坐在鞦韆上的你

一起小幅度的擺動著

手上這杯飲料

也跟著小幅度的擺動著

若擺盪幅度太大時

飲料就可能會灑出來

如果盪鞦韆是一個簡諧運動的過程

那麼

當我們盪到哪個位置

飲料灑出來的機率比較大呢？

是端點還是平衡點？

我們知道

簡諧運動就是圓周運動的投影

當簡諧運動走到某位置時

可以透過對應的圓周運動的速度

計算投影量

而得知簡諧運動的速度

我們可以看到它來來回回

快慢不一

這不會是等速度運動

這樣的變加速度運動

也可以透過一樣的投影方式

來得知各位置的加速度方向和大小

等速率圓周運動

是因為受到一個指向圓心

且固定大小的力

作用的結果

加速度和力的方向相同

若把加速度的箭頭畫出來

這個箭頭的大小不會改變

但方向會不斷變換

指向圓心

將等速率圓周運動的加速度的水平分量畫出

就是簡諧運動的加速度了

接著

我們來分析

當簡諧運動走到幾個不同位置時

它的加速度大小分別是多少

假設等速率圓周運動的加速度為a

並以正X的方向的夾角來描述圓周運動的位置

當簡諧運動走到右端點時

加速度是多少呢？

我們可以向上畫出輔助線

對應到0度角的位置

此時的加速度大小為a

方向向左

水平分量最大

所以抵達右端點的瞬間

加速度為a

當簡諧運動繼續往左走到二分之R的位置時

加速度是多少呢？

只要跟剛剛一樣向上畫出輔助線

利用三角形的邊長關係

就能推出它對應到60度角的位置

此時加速度和水平方向的夾角為60度

大小為a

所以水平分量為二分之一a

方向向左

這就是簡諧運動物體此時的加速度

當簡諧運動走到平衡點的位置時

向上畫出輔助線

對應到90度角的位置

速度a方向向下

沒有水平分量

此時簡諧運動的加速度為零

當簡諧運動繼續往左走到平衡點左邊五分之三R的位置時

加速度是多少呢？

可以按下暫停鍵試試看喔！

一樣向上畫出輔助線

透過三角形的邊長關係推出角度

圓周運動對應到127度角的位置

此時加速度和水平方向的夾角為53度

a的水平分量為五分之三a

方向向右

所以簡諧運動此時的加速度

就是五分之三a向右

只要利用相同的方法

我們就能求出簡諧運動走到不同位置時的加速度了

其實

加速度也可以利用三角函數的方式來表示

如果圓周運動對應到的角度是theta

那加速度的水平分量就會是a cos

在第一象限中

水平分量的方向向左

如果以向右為正

那就必須再加上一個「負號」

若完整寫出

簡諧運動的加速度會是負a cos

那當theta落在第二象限時

這個公式也適用嗎？

量值的部分

就是投影量的大小

而在「方向」的部分

加速度的水平分量方向向右

算出來應該要是正的

theta落在第二象限時

cos是負的

加上前面的負號

負負得正

符合推論

複習一下

在等速率圓周運動中

加速度a可以用角速度

速度

半徑的組合來表示

若對應到的圓周運動初位置在0度的地方

角速度為omega

若經過一段時間t之後

圓周運動掃過的角度theta為t

那加速度的公式就可以做一些轉換

回到我們片頭的問題

如果要回答哪個位置比較容易灑出飲料

要先思考一杯靜止的飲料

液面傾斜程度與加速度的關係

若在向右加速的車上

液面會呈現左高右低的狀態

加速度越大

傾斜的程度就越大

所以

在小幅度擺動的鞦韆上

可以看作是簡諧運動

加速度最大的位置在端點處

雖然速度為零

但液面會傾斜最多

是飲料比較可能灑出來的位置

我們來總結一下這支影片的重點吧！

簡諧運動是等速率圓周運動的投影

我們可以畫出輔助的圓形

來看看簡諧運動對應到的位置

計算水平分量

找到加速度的大小和方向

並用簡諧的公式來表示

在左右兩個端點時

加速度的水平投影量最大

簡諧運動的加速度為a

當走到平衡點時

加速度的水平投影量為零

簡諧運動的加速度為0

而當走到任意位置時

就可以對應角度

並計算加速度的水平分量

掌握這些原則

就可以求出任意位置的加速度了！

下次去盪鞦韆的時候

帶上一杯飲料

觀察看看液面如何晃動？

有沒有符合我們上面的推論呢？

歡迎留言分享你的想法

我們下次見囉！

Bye bye