吊掛的大球一字排開 在背景音樂的搭配下 向側邊拉抬到一定的高度 並讓大球開始擺盪 來回的過程中 就好像一條大蛇匍匐前進 不斷變換這個大型的藝術裝置 是怎麼設計出來的呢？ 往復來回 重複進行 被我們稱作是週期性運動 而其完整來回一次振動所需要的時間 叫做「週期」 週期性運動有非常多 有些週期很短 像是撥彈吉他琴弦 琴弦的震動週期只有幾毫秒 時鐘鐘擺擺盪一次 大概是幾秒鐘 週期再長一點的 像是著名的哈雷彗星 大約76年回歸一次 而有些週期性運動 像是太陽系繞行銀河 週期可以長達兩億多年 在我們有限的生命當中 甚至無法完整經歷一次 等速率圓周運動是週期性的運動 它的投影是來回震盪的簡諧運動 當然也屬於週期性運動 而它來回一次的週期 就會是圓周運動繞行一圈所花的時間 現在有一路邊的小販 將不同款式 大小不一的木偶串在彈簧的下方 握住木偶向下拉一段距離後放手 木偶會來回震盪 將兩隻同款的木偶 分別下拉不同的幅度後放手 發現他們竟然會一起上上下下 但若是不同款的木偶 就算下拉的幅度相同 卻不會同時上上下下 這是為什麼呢？ 彈簧木偶們上下震盪 是簡諧運動 而來回震盪一次的時間 就是週期 下拉不同幅度的木偶們若可以同步的上下運動 就代表它們週期的相同 要推導簡諧運動的週期 我們可以從加速度的公式與彈力公式出發 等速率圓周運動中 向心力可以這樣表示 簡諧運動加速度的等式列出來後 兩邊一起乘上質量m後 等號的左邊即為簡諧運動的受力Fx 可以這樣表示 標示為第式 簡諧運動的受力 依照虎克定律 可以表示為F等於負kx x為等速率圓周運動的投影位置 可以表示成畫面上的樣子 標示為第式 在式與式相等的情況下 可以寫在一起並整理 將R cos theta約掉之後 將T平方移到等式右邊 k移到等式左邊 得到T平方等於4 pi平方乘上k分之m 一起開根號之後 就能得到簡諧運動的週期 T等於2π根號k分之m 推導出這個公式後 你是否能試著回答前面彈簧木偶的情境呢？ 第一個問題是 為什麼同款的木偶 不管振盪的幅度大或小 都會同時折返、上升、下降呢？ 下拉的幅度 改變的主要是簡諧運動的「振幅」 而振幅的大小並不會影響週期 所以木偶們來回震盪一次所花的時間是相同的 經過一半的週期後 走到最高點 再經過一半的週期 從最高點走回最低點 對於第二個問題 為什麼大小不同的木偶 就算下拉相同的幅度後放手 卻不會同時折返、上升、下降呢？ 大小不同的木偶 主要的差異在於「質量」 從公式來看 質量越大 週期越長 所以大的木偶 震盪一次所花的時間會比較長 會比較慢回到一開始放手的位置 換個角度思考 質量較大的物體 慣性較大 較難帶動 所以需要花比較多的時間回到原來的位置 週期的公式中 也可以看到另一個影響的參數是「彈力常數k」 彈力常數越大時 週期會越小 其實彈力常數越大 代表的是這條彈簧比較硬 下拉一樣的距離時 會有較大的回復力 帶動的力量大 振盪一次所需要的時間較短 綜合以上的討論 若想計算簡諧運動的週期 只需要知道質量m和彈力常數k 就能計算 質量越大、週期越長 彈力常數越大、週期越短 且週期與振幅無關 如果想要讓彈簧木偶比較快的上下震盪 我們可以作哪些調整呢？ 比較快的上下震盪代表的是週期要變短 週期等於2 pi根號k分之m 要設法減少質量m或者是增加彈力常數k 所以可能可以拿掉木偶上的一些配件或改掛一個比較輕的木偶 又或者是換一條較難產生形變的彈簧 甚至同時用兩條彈簧懸掛木偶 增加彈力常數 這些方式都可以讓週期變短喔！ 你答對了嗎？ 答案是不會 在月球上 雖然重力場強度只剩下地球的六分之一 但因為是同一組木偶和彈簧 它們的質量和彈力常數維持相同 所以週期不會改變喔！ 回到我們在片頭提到的大型藝術裝置 它叫做「蛇擺」 其實就是透過每顆大球來回的週期不同 擺盪的時間長短不一 呈現連續的變化 進而達到這樣的效果 在這個單元中 我們推導了簡諧運動的週期公式 T等於2根號k分之m 質量越大、週期越大 彈簧的彈力常數越大、週期越小 如果你家裡面也有彈簧跟娃娃 可以試試看在一根棍子上同時將質量不同的兩隻娃娃掛在完全相同的兩條彈簧之下 從公式來看 它們作簡諧運動時 應該有著不一樣的週期 試試看 是否能夠控制只讓其中一隻進行震盪呢？ 歡迎留言分享你的想法 我們下次見囉！ Bye bye！