小時候聽到的科普故事總是告訴我們 牛頓先生坐在一棵蘋果樹下被蘋果打到頭 進而啟發了萬有引力理論的誕生 但真的是這樣嗎？ 實際上是星空中天體運行的規律真正啟發了牛頓 然而從伽利略拿起望遠鏡對著天空的那刻起 就注定人類與天體將展開一場美麗的邂逅 我們對天體的認知 從托勒密的地心說走到哥白尼的日心說 慢慢認識天體運行的輪廓 接著透過第谷努力不懈的觀測紀錄與克卜勒精準的數學統計分析 人類才清楚地了解宇宙中天體運行的規則 克卜勒行星運動定律也就此誕生 並啟發了牛頓提出萬有引力定律 因此廣義來說 克卜勒也是另一個提供肩膀給牛頓站 讓牛頓看得更高更遠的巨人 我們就先來複習一下克卜勒三大行星運動定律吧 第一定律：橢圓軌道定律 這個定律說明行星運行的軌道均為橢圓 太陽系行星繞太陽的軌道是橢圓 太陽位居橢圓的一個焦點上 第二定律：等面積速率定律。 這個定律說明行星繞到太陽附近時速度變快 行星與恆星的連線在等長的時間內掃過相同的面積 第三定律：週期定律 最後這個「週期定律」 說明繞著相同恆星的行星之間 其個別的週期T 和行星軌道半軸長a之間有如下的關係： 越遠的行星 繞太陽的週期越久 即T2 : a3為定值 科學的發展就像是一場大隊接力賽 由托勒密的地心說到哥白尼的日心說 再由第谷與克卜勒的行星運動定律至牛頓發展出萬有引力 天文與科學的成就是這樣一棒接一棒發展至今的 克卜勒先生藉由他優秀的數學能力 從第谷先生手中龐大的天文觀測資料中 歸納整理出行星運行的規律 在學科屬性上比較屬於數學分析的結果 然而 牛頓先生受到克卜勒行星運動定律的啟發 建立出萬有引力定律 反過來驗證了克卜勒行星運動定律的合理性 成為天文學中重要的基礎理論 雖然牛頓先生的證明過程也是運用了大量繁雜的數學 但本質上牛頓先生是由兩物體之間是否有受力的力學觀點出發 由物理的思考搭配數學的論證 得到了萬有引力定律 由克卜勒的橢圓軌道定律 牛頓看見了地球繞轉太陽時 與太陽的距離有近有遠 兩者的距離時時刻刻都在變動 又由等面積速率定律 看見了地球繞轉太陽的速率有快有慢 時時刻刻都不相同 牛頓心想 這其中必定藏著力學的規律 因此啟發了萬有引力定律 萬有引力就是萬物皆有的引力 任意兩個質點之間必存在著互相吸引的作用力稱之為萬有引力 萬有引力的大小與兩質點的質量乘積成正比 與它們距離的平方成反比 牛頓提出的萬有引力定律雖然形式看起來很簡單 但其實是建立在嚴謹的四個命題前提與完整的數學證明 四個命題分別是： 1.等面積速率定律與作用力向心等價 2.若橢圓軌道定律與等面積速率定律成立 則向心力遵守與距離成平方反比的規律 3.若行星所受向心力的大小與至太陽的距離平方成反比 則行星繞日的軌道是橢圓 太陽位居其中一個焦點 4.證明均勻球殼作用於球殼外一個質點P的（平方反比）引力 等於把球殼的總質量集中在球心 然而牛頓所進行的數學證明是以克卜勒的橢圓軌道為前提 因此過程中所使用的數學非常繁雜 一般高中生是無法駕馭的 雖然地球繞太陽的軌道是橢圓形 但其實是很接近圓形的橢圓 因此為了簡化繁雜的數學過程 我們可以暫時將地球繞太陽的軌道視為正圓形 如此一來便可以用簡單的數學過程 理解牛頓是如何透過萬有引力定律來證明克卜勒行星運動定律的正確性 若太陽系質量為m的行星以質量為M的太陽為圓心 r為軌道半徑 並以太陽與行星之間的萬有引力為向心力來進行等速圓周運動 則其公式如畫面所示 根據牛頓第二運動定律 可得到行星圓周運動的向心加速度ac 若將此結果代入等速圓周運動的向心加速度公式 如畫面所示 則可證明克卜勒行星運動定律中週期定律的正確性 也就是太陽系中的行星繞轉太陽的平均軌道半徑與週期雖然各不相同 但是其平均軌道半徑的3次方與週期平方的比值會是定值 其中等式右邊的M為太陽的質量 克卜勒的行星運動定律啟發了牛頓的萬有引力 而牛頓的萬有引力也反過來驗證了克卜勒的行星運動定律的正確性 這是多麼美妙的因緣啊 雖說牛頓說過他之所以能有如此的學術成就 是因為他站在巨人的肩膀上 普世也認為這個巨人是伽利略先生 但若就萬有引力這件事情來看 說不定克卜勒先生也是牛頓先生心目中的另一個巨人 讓我們回顧一下今天所學到的內容： 克卜勒三大行星運動定律： 橢圓軌道定律 等面積速率定律 週期定律 克卜勒的行星運動定律啟發了牛頓的萬有引力 而牛頓的萬有引力也反過來驗證了克卜勒的行星運動定律的正確性 為了能夠讓高中生理解牛頓的萬有引力是如何驗證克卜勒行星運動定律的正確性 我們是把行星繞行的橢圓軌道近似為圓軌道來進行數學證明 倘若是真的用橢圓軌道來進行數學證明又該如何執行呢？ 大家快去翻翻牛頓先生的鉅著《自然哲學之數學原理》吧 我們下次見囉 bye bye