他是第谷

興趣是看星星

專長是看星星

工作也是看星星

在觀測天體的紀錄上

具有非常傑出的才能

據說他觀測天體所記錄下來的時刻與角度位置誤差

不超過10角秒與1角分

還發明了望遠鏡赤道儀

西元1599年

他帶著長年累計的大量天文數據搬到布拉格

在神聖羅馬帝國皇帝的資助下

第谷有了自己的天文觀測室繼續觀測星空

而他是克卜勒

對數學有著極佳的敏銳程度

喜愛研究天體與數學的關係

曾試圖以正多面體詮釋行星運動的關聯

西元1600年

他受雇於第谷擔任研究助手

但一年後第谷意外病逝

大量的天文觀測資料傳承到他手中

而克卜勒也持續秉持著

以數學的角度分析歸納天體運行的規則

就這樣克卜勒花費了19年

前前後後發現三個關於行星運動的規則

被稱為克卜勒行星運動定律

後來相關定律也啟發牛頓提出萬有引力

相關內容在高一已經做過基本介紹

今天讓我們更加深入瞭解

當初克卜勒提出的內容與牛頓力學概念的關係吧

在多次比對與歸納第谷的數據後

克卜勒發現行星繞行太陽運動的軌跡

並非如過去多數人所想的圓形

而是橢圓

且太陽會坐落在橢圓的焦點上

即克卜勒第一定律

地球的橢圓軌道裡包含長軸與短軸

畫面中也可以看到因為軌道橢圓

地球和太陽的距離不再一致

在距離最近的位置稱為近日點

最遠時則稱遠日點

就今天的我們來看

這項定律的陳述可能沒什麼地方值得注目

但這項發現可是展現了克卜勒獨到的分析能力呢！

克卜勒先是察覺到

地球在不同的時間和太陽有不同的距離

才歸納出橢圓軌道的結論

同學們想想看

我們要如何才能知道今天的太陽跟上個月的太陽

哪一天距離我們比較近呢？

答案是

借助其他行星作為標記幫助我們定位

現在可以看到太陽、地球、火星

正好呈現三連星的狀態

克卜勒發現

三個星球連線的週期約為780天

以此他計算出了火星繞日的週期約為687天

由於每隔687天

火星在天空的位置有如一個固定的燈塔

我們只要將每隔687天

地球所觀測到的夾角1、2加以記錄

便能利用三角函數

分析出不同時間下

地球和太陽的距離關係

以上內容僅為大方向簡易的陳述

實際上

克卜勒花費了大量的時間與精力去歸納分析

最後才確定橢圓軌道的事實

第一定律的發現足足花了他五年之久

而確認了星球軌道半徑的這項技術

也為第二定律及第三定律打下基礎

橢圓軌道這項定律

其實也呼應了前面單元的影片中所做的問題探討

在當時我們推導

行星欲以特定半徑繞太陽旋轉所需要的速率

如果今天速率無法剛好和所需的速率相等

那行星的軌道勢必不會成圓形而會有其他形式

根據速率快慢的不同

軌道可能為橢圓形、拋物線和雙曲線

然而拋物線及雙曲線都不是閉合的

如果行星做這樣的運動

勢必離我們而去

因此我們可觀測到的行星軌道為橢圓形

在得到了各項行星的距離與週期資訊以後

克卜勒也利用相關資訊計算出行星在運動時

與太陽連線掃過的面積為定值

此為面積率

為什麼行星會遵守這樣的定則呢？

讓我們從萬有引力的角度來思考速率改變的問題

當行星位於畫面中的a點時

相較於b點

行星和太陽的距離半徑較小

而b點的距離半徑較大

這是因為距離近的時候

行星受到太陽的萬有引力變大

造成行星繞行太陽的速度加快

於是行星在整個橢圓軌道裡

距離小時速率大

距離大時速率小

最後是克卜勒第三定律

也是耗費克卜勒整整九年才找到的最後一項定律

為週期律

內容為

繞行太陽旋轉的行星

彼此的週期平方分之平均軌道半徑三次方皆相同

為一定值

式中的平均半徑為近日點的最小半徑

與遠日點的最大半徑取平均

此式也適用在運轉對象相同的星體之間

那為什麼會是週期平方分之半徑三次方呢？

讓我們假想行星作圓周運動

以牛頓的萬有引力式來做簡易的分析

因為太陽的質量遠大於任何一顆繞著他旋轉的行星

我們將太陽的中心看作是所有行星的軌道中心點

並以前幾部影片反覆使用的概念分析

行星作圓周運動所需要的向心力由萬有引力提供

並以週期與半徑的物理量來描述向心力

如畫面所示

接著嘗試將週期T與半徑R移項獨立出來

得到這樣的式子

可以看到右式的內容包含pi與G這兩項常數

而大M為被繞轉的太陽質量

此事便能合理的解釋

所有的行星皆有相同的T平方分之R三方

因為他們繞轉的對象皆相同

有一樣的大M

以上介紹的行星定律

從克卜勒整理第谷的資料反覆比對歸納定則

到牛頓發展相關力學概念

以數學角度分析驗證定則的合理性

分別對應了科學研究方法中的歸納法與演繹法

歸納法從過去既有的現象裡找尋通則

以求鑑往知來

而演繹法則是從基本被公認的事實為前提

出發進行邏輯推理來得到現象應發展出來的結果

這兩種方法在科學研究上皆扮演重要的角色

然而有的時候卻不見得能幫助科學家們探索未知事物的答案

這時靈感與創意的假設也是必要的

在這裡先做一個預告

相關的案例將在未來高三的近代物理作介紹

讓我們來總結一下這支影片的學習內容

克卜勒分析了第谷留下的天文觀測紀錄

發現行星繞太陽運動遵守三個定律

分別為：橢圓律、面積律、週期律

利用牛頓的萬有引力提供向心力概念

可以解釋為何不同行星的

週期平方分之平均半徑三次方的數值皆相同

該值如畫面所示

其數值大小取決於被繞星體的質量

在行星運動的概念中

克卜勒以歸納法的形式找出規律

而牛頓以基本理論出發、推導驗證規律正確性

屬於演繹法

牛頓曾說過

我之所以看得遠是因為自己站在巨人的肩膀上

正因為有了第谷、克卜勒等人的努力

牛頓才能進一步受到啟發提出相關的力學概念

最後

讓我們想一想

如果行星以拋物線或是雙曲線繞著太陽運動

還會遵守面積律嗎？

歡迎留言分享你的想法喔！

我們下次見！Bye bye