同學們在端午節的時候 有沒有跟瘋嘗試過「立蛋」呢？ 這個挑戰容易成功嗎？ 讓我們邀請坐在螢幕前的你親自體會看看吧 同學們可以雙腳站立於螢幕前 然後把右腳的腳底板靠在左腳的大腿內側 在這種姿勢下 同學們你能穩定地站立至少十秒鐘嗎？ 同學們很難維持姿勢的平衡吧？ 這是可以用物理原理來解釋的喔 在前面的影片中 同學們已經了解到 只要和物體接觸的支撐點位在物體重心的正下方 就可以保持平衡 踮起腳尖之所以會站不穩 和接觸面積有關 如果用整個腳掌接觸地面 要讓重心保持在接觸面上方會比較容易 如果把接觸面積盡可能的縮小 使其小到幾乎只有一個點 是不是就幾乎無法達成平衡了呢？ 讓我們來看一個特別的例子吧 不知道同學們有沒有看過 或玩過一種叫做平衡鳥的玩具呢？ 我們只需以平衡鳥尖尖的鳥嘴作為支撐點 就能將平衡鳥隨意且輕易地頂立在任何地方 即使是一個小尖點上 想知道平衡鳥可以輕易保持平衡的設計原理嗎？ 首先 我們為了簡化這個問題 可以將平衡鳥複雜的外觀做適度的簡化 視為由三個主要的部份組成 也就是身體 翅膀和尾巴 首先從平衡鳥的正前方來看 當我們向下壓其中一端的翅膀後鬆手 平衡鳥在左右晃動一段時間後 就回到平衡狀態 仔細觀察下 我們不難發現平衡鳥的左右兩側相互對稱 因此左右兩側的重量也會相等 也就是說左右翅膀的重量 在兩個方向上 所分別產生的力矩便會互相抵銷 接著 讓我們換一個方向 從側面來觀察平衡鳥 將平衡鳥的鳥嘴放在手指上 再輕壓一下尾巴 觀察一下最後是否可以達到平衡呢？ 你是否覺得這很神奇呢？ 這個問題的答案 就在兩個翅膀的前端 都裝上了配重的鉛塊 所以只要我們適當調整鉛塊的重量 就可以將重心調整到鳥嘴的位置 為了更詳細的回答這個問題 讓我們來回顧一下之前講過的重心公式吧 在前一支影片中 我們提到了可以用 「質點力矩和」會等效於「重心力矩」的概念 來得到重心公式 如畫面所示 透過重心公式 可以準確的預測物體的重心位置 即使支撐點很小 也可以讓物體順利的平衡 但是如果是畫面中的筆電 要幫它找到可以平衡的重心位置 就需要使用二維的重心公式 真實筆電內部是由許多不同零件組成 所以重量分布並不均勻 為了找出筆電的重心位置 我們先來小小的練習 假設物體是由四個小質點組成 並且四個質點重量依序為1、1、1、3 同學們想到了嗎？ 答案是右上方 但這沒有辦法告訴我們確切的重心位置 那我們該如何找到準確的重心位置呢？ 讓我們一起來練習如何求解吧 要解出二維物體的重心位置 我們可以將之前學過的「運動獨立性」概念延伸 也就是將重心位置的計算 單獨分成x方向和y方向來做討論 我們在接下來的解釋 會用「座標的獨立性」稱呼這個概念 在下面的計算中 我們假設四個質點的位置 分別位於、、、 我們就用上述的分析方式來找找看這個重心位置 如果只看x方向 不難發現 該物體只在位置x等於0和x等於10具有重量 若將其代入前面介紹過的一維重心公式 可以得到如下的結果 分子的部分 是個別物體的重量W乘上所在的位置後的總和 為1加1乘以0 再加上1加3乘以10 等於40 而分母的部分 則是個別物體的重量和 所以是1乘以3加3等於6 所以我們可以得到 在「x方向上」 重心的位置會落在40除以6四捨五入為6.7的位置 剛好是正中央偏右 一樣的想法也可以用來求y方向的重心座標 經過剛剛的練習 相信同學們已經很熟練了 所以我們簡單解釋y方向的計算 根據公式可以得到y方向的重心座標 等於各點重量乘以各點y方向距離的總和 除以各點的重量和 等於40除以6 一樣四捨五入後得到6.7 所以我們總結重心的位置會在正中間的右上方 在了解二維物體的重心公式後 最後讓我們試著運用剛學會的二維重心公式 來設計平衡鳥的配重吧 首先把平衡鳥結構簡化為黏土版 不難發現黏土鳥由兩根牙籤和三塊黏土所組成 由於主要的重量都來自於黏土 所以在計算配重時可以只考慮黏土的部分 我們需要透過適當的配重 讓重心也恰好落在鳥嘴的位置 這時我們便可以利用二維物體的重心公式 來幫助我們判斷 該怎麼調整黏土的大小 首先我們將左右兩側設為x軸的方向 接著將鳥的頭尾側設為y軸的方向 最後假設鳥嘴所在的支撐點位置為原點 這時如果身體和左右兩邊的翅膀的位置 分別為、和 而且作為身體的黏土是20公克重 那兩邊的翅膀應該要分別捏多重的黏土 才能使平衡鳥平衡呢？ 由於在x方向上 鳥的身體是左右對稱的 所以可以先假設兩邊的翅膀重量都相同 且皆為W 由於重心要落在支撐點上才能平衡 所以整體的重心位置應為 我們依照上面的條件依序計算x和y方向 可以得到畫面中的計算式 由於y方向的重心座標為0 所以分子的部分也應該要是0 所以我們可以得到W會等於50公克重 讓我們很快地來回顧一下 前面學過的內容 物體是否能夠平穩的立定在水平面上 與地面接觸的面積有關 面積越大越容易平穩的站立而不倒下 即使和地面的接觸面小到只有一個點 只要做適當的配重設計 還是可以保持平衡 像是平衡鳥玩具就是一個好例子 只要善用座標的獨立性 就可以將一維物體的重心公式 類推至二維物體的重心公式 二維物體的重心公式可以幫助我們 分析平衡鳥的配重設計 最後讓我們來聊一個進階問題 同學們有沒有想過為什麼平衡鳥平衡時 身體不會維持水平狀態 而是稍微向前傾呢？ 這樣的設計會讓平衡鳥更容易保持穩定的平衡嗎？ 這個問題的答案 其實會和下一部影片要介紹的「平衡的種類」有關 歡迎分享你的想法 一起來討論喔 我們下次見囉 bye bye