炎熱的夏天 小均和好朋友們約定一同前往水上樂園戲水消暑 而滑水道是樂園中必玩的設施之一 大家應該都會發現 遊玩每種滑水道設施 即使滑水道長度皆一樣 但由於鉛直高度不同或是滑水道與底部的夾角不同 導致滑到底部時 速度、大小皆會不一致 我們該如何詮釋這些現象呢？ 又該如何透過能量的概念得知與量化呢？ 首先 我們先複習上一個單元「功」的定義與公式 功是能量轉移的過程 即是對物體輸出的純量 若外力與位移在同一方向 而功的定義為力與位移的乘積 若外力與位移相互垂直 功的量值為零 也就是對物體不作功 倘若力與位移的方向之間有夾角 又該如何量化外力對物體作功的量值呢？ 我們以手拉行李箱為例 此時力F與位移r的方向夾角為theta 我們可以透過力的獨立性特性 將力分解成與位移同方向 Fcos theta 與位移垂直的方向 Fsin theta 先分析與位移同方向的作功量值如畫面所示 而與位移垂直方向的外力 為對物體作零功 因此 綜合以上兩個作功量值 可得出此外力對行李箱的作功量值如畫面所示 我們再看另一個生活例子 搬運工向上提一箱子並沿著樓梯向上行走 此時 外力F與位移r方向之間的夾角為theta 再透過向量的獨立性 可把位移r分解成與外力同方向 rcos theta 與外力的垂直方向 rsin theta 先分析與位移同方向的作功量值如畫面所示 而與外力相互垂直方向的功量值為零 因此 綜合以上兩個作功量值 可得出此外力對行李箱的作功量值如畫面所示 綜合以上兩個案例可知 作用力為F 物體移動的位移r 而兩向量間的夾角為theta 則作用力對物體所作的功量值如畫面所示 功在國際單位中 為牛頓乘以公尺 稱為焦耳 符號為J 而數學上 將此兩向量的乘積稱為內積或純量積 因此 外力對物體所作的功可以更廣泛的定義為 作用力與位移的內積 並且功為一純量 但功具有正負之分喔 接著 我們更加詳細探討作正功、負功與零功的情況 若作用力F 物體移動的位移r 夾角theta大於等於零度 小於90度 此時cos theta大於0 而得出的作功量值W大於0 代表此作用力F作正功 若作用力F 物體移動的位移r 夾角theta大於90度 小於等於180度 此時cos theta小於0 而得出的作功量值W小於0 代表此作用力F作負功 若作用力F 物體移動的位移r 夾角theta等於90度 此時cos theta等於0 而得出的作功量值W等於0 代表此作用力F作零功 在日常生活中 一物體不僅受到單一外力的作用 例如 當學生在桌面上水平推物理課本位移r時 此課本不只受到推力 還會受到垂直桌面的正向力 平行桌面且與運動反向的摩擦力 以及課本受地球吸引的重力 此時 每個作用力皆有可能對物體產生作功的效果 因此 在量化作用力對物體作功時 必須講明對象 例如 水平推力、正向力、摩擦力、重力所作的功分別如畫面所示 而物體所受的合力作功 也如同所有外力作功的總和 如畫面所示 這個課中測驗也可幫助我們回答一開始的問題 為何不同的滑水道高度 會影響滑至底部的速度呢？ 小均滑下的整個過程合力作功如畫面所示 此合力作功與鉛直高度H成正比關係 因此H值愈大 合力作功量值愈大 意即對小均輸出的量也愈大 因此 小均滑至底部 獲得較大的動能 而導致小均在底部的速度量值較大 來整理歸納一下今天的學習重點吧！ 功是力與位移內積的結果 若角度大於等於0度 而小於90度的情況 cos theta值大於零 此時代表作用力作正功 若角度小於等於180度 而大於90度的情況 cos theta值小於零 此時代表作用力作負功 若角度等於90度 cos theta值等於零 此時代表作用力作零功 作功必須講明對象 若僅討論F1作功 則作功W量值即為F1與位移的內積即可 若僅討論F2作功 則作功W量值即為F2與位移的內積即可 若僅討論F3作功 則作功W量值即為F3與位移的內積即可 合力作功為合力與位移內積 或是所有外力作功的純量總和 最後邀請你一起動腦解決 根據虎克定律 我們皆知在彈性限度內 彈簧的回復力量值F與伸長量或壓縮量x成正比 意即回復力會隨位置而改變 因此回復力並不是一個定力 我們該如何計算此彈簧的回復力作功呢？ 歡迎留言讓我們知道 我們下段影片揭曉喔！