每當進行大掃除時 會被要求將桌子移至一旁 以利空間上的整理 而在推桌子的過程中 大家會因為越推越累 推的力量也就越來越小 所以推桌子的力量值並不是固定的 此時應如何計算桌子受到推力作功的量值呢? 我們先來複習一下何謂作功 作功是對一物體輸出或輸入的量 是一種純量 意即一物體獲得或失去多少能量 作功的量值與力及位移有關 公式如畫面所示 公式中cos theta值代表力與位移方向要平行 才能有效地對物體輸入或輸出動能喔 另外 還需提醒作功公式中有其侷限性 F是為一定力 表示此力作功過程中 力的大小與方向皆須固定 力是一種向量 包含量值大小與方向 若力的量值大小或方向有所改變 則稱此力為變力 我們來看一個變力作功的情境 當你在大賣場水平推手推車至某一貨架上選取好商品後 再以固定的水平力推手推車至另一個貨架上 又選取另一項商品 過程中轉換了3次方向 每次行進位移分別為x1、x2、x3 在這過程中 你的推力F總共對手推車作了多少功呢? 分成三段作功過程 分別將此作功量值加總起來 就是整個過程推力對手推車的作功量值 接著 我們再挑戰另一種的情境 若你以繩子甩一物體 此物體在一水平面上呈現等速率圓周運動 你會發現你無時無刻皆在改變力的方向 物體受到繩子的力皆指向圓心 而物體移動的方向也隨時都沿著切線方向 因此 每一時刻力與位移的方向皆相互垂直 此繩張力整個過程對該物體作零功 變力除了力方向改變以外 還有另一種情形 即為力的大小改變 而最簡單的案例 即是大家熟悉的虎克定律 虎克定律表示 一彈簧在彈性限度內 其恢復力的量值與其形變量成正比 因此整個過程中 恢復力並不是一固定的量值 而是隨著形變量一直改變 以彈力常數k等於2說明 恢復力量值與形變量的關係如畫面上表格 在此情況下 我們該如何推算此恢復力的作功呢 我們先看一個例子 超人以固定力10牛頓力沿著汽車運動的方向作用在汽車上 使其位置沿直線自原點的位置移至5公尺處 此時 超人又增加其推力大小至20牛頓 位置再從5公尺處移至8公尺處 則超人總共對汽車作了多少功呢？ 根據前面學過的分段作功概念 我們可以將超人所作的功分成兩段 前5公尺處 超人所施的力共作功50焦耳 而5到8公尺處 又作功60焦耳 總共作功量值為110焦耳 除了分段作功計算總功的量值外 我們也可透過力與位置的關係圖 將超人施力過程與作功的運算過程圖像化 首先 我們先將前5公尺的力與位置圖關係繪製出來 力與位置的關係線如紅線表示 而現在我們計算此紅線與x軸所圍面積 此面積量值為50焦耳 與我們先前計算前5公尺的作功量值一致 接著 我們再繪製超人第二段施力的力與位置關係圖 可以繪製出藍色的關係線 再次計算藍線與x軸所圍的面積量值為60 與我們先前所計算的作功量值一樣 最後再將兩塊的面積值加總 與我們先前所計算的總量值110焦耳相同 因此 我們可以得到以下結論 若物體受到一連串沿著運動方向的固定力作用 這些力對物體作的總功 仍等於力與位置關係線之間所圍起來的面積大小 我們回來探討符合虎克定律的彈簧 其力與形變量的關係圖為一斜直線 我們可以沿用定力作功的概念 將力與位置關係圖 分解成一連串的固定力來求得變力所作的功 例如 我們可以將此分成10段固定力來做計算 你會發現 此方法應當無法準確求得此變力的作功 但我們可以透過其他方法將其近似 可將此切成無限多個固定力作功 也就是說 將原本10個長方形再切得更細 形成接近無限多個小長方形 而這些長方形的面積 就完成等同於力與位置關係線的面積了 所以此面積就能代表連續變力所作的功 我們試著計算看看前面彈簧恢復力的案例 先將此恢復力繪製成力與位置的關係圖 我們計算此曲線與x軸所圍成的面積 亦即此變力作功的量值為25焦耳 最後我們統整一下學到的重點 變力是力的大小或方向改變 變力作功計算的方式 可將過程拆成定力作功的線段 最後將其加總即可得變力的作功量值 也可從力與位置的關係曲線與x軸所圍的面積 求得變力作功量值 而所圍的面積在橫軸上方 代表為正功 而所圍的面積在x軸下方 代表負功 作功是對一物體輸出與輸入的量 也是代表能量轉移的過程 而作功會使物體的速度發生改變 而作功與速度的關係為何呢？ 而作功在能量的觀點中 扮演何種角色呢？ 想一想或和同學討論 我們將在下段影片中揭曉喔 下次見囉 bye bye