不知道你有沒有看過越野滑雪？

在著名的滑雪勝地中

遊客會搭乘纜車到山頂

再一路滑下來

還可以選擇挑戰不同的路線

但你有沒有想過

假設在理想的冰面滑冰

也就是在沒有摩擦力和空氣阻力的情形下

只受重力作功

是否能計算出

從起點滑到終點時的速度是多少呢？

要計算速度

就得計算出動能是多少

也就是從起點到終點這段距離中

重力所作的總功

還記得怎麼計算力的作功嗎？

要把每一小段的位移

乘上力在這個方向上的分量

再全部加起來

但這樣計算真的是太麻煩了

有沒有比較簡單的算法呢？

在回答這個問題之前

讓我們先來看一些簡單的例子

小時候應該都玩過溜滑梯吧？

有直線的、螺旋型的

有很陡峭的

也有很平緩的

但你有沒有注意過

從不同的溜滑梯溜下來時的速度是多少呢？

這個速度會受哪些因素影響？

如果你玩過溜滑梯

應該就會知道

從很高的溜滑梯溜下來的速度

絕對比低的溜滑梯來的快

但是這個速度單純只跟溜滑梯的高度有關

還是跟溜滑梯的形狀也有關呢？

讓我們來思考這三個不同的情況

「自由落下」、「斜面落下」和「圓弧形落下」

如果從同樣的高度h落下

並忽略所有的阻力

你覺得哪種方式的落地速度最快呢？

第一種「自由落下」你一定會計算

由於末速度和動能有關

而動能來自於重力作功

也就是重力乘以位移

等於Mgh

那如果是從斜面落下呢？

作功等於力乘上沿著力方向的位移

也就是斜面距離R乘以cos theta

這樣是多少呢？

我們可以畫一個直角三角形

神奇的事情發生了

R乘以cos theta就是h

也就是說

在斜面情況的重力作功

與垂直落下的相同

都是Mgh

既然作功相同

獲得的動能也一樣

因此兩者的落地速度會相同

如果推廣到任意路徑

比如這條弧線

你能算出從A點到C點重力作功多少嗎？

我們可以把弧線近似成很多段鉛直線和水平線

而重力只在鉛直的位移有作功

水平的位移作功為零

當我們把所有的鉛直線段加起來

就會等於h

因此可以推論出

從A點到C點間的任意路徑

重力作功都會是Mgh

也就是說

不管什麼形狀的溜滑梯

只要它們的高度相同

落地時的速度都會是一樣的

而具有像重力這種

「作功只與起點和終點有關與路徑無關」

特性的力

我們就稱之為「保守力」

但為什麼我們要把「重力」稱為「保守力」？

保守力的「保守」是什麼意思呢？

想像一下

如果將剛剛移動的方向反過來

會發生什麼事？

一開始水平往左移動

重力並不會作功

接著沿鉛直方向往上移動h

重力作負功

所以總共作功負Mgh

大家有沒有發現？

這跟一開始正方向作功的大小相同

只差了一個負號

而且正向移動作的功

跟反向移動作的功

加起來剛好等於零

也就是說

當你從溜滑梯上滑下來

然後再爬回原本開始溜的地方

重力作的總功也會是零

所以我們得到保守力另一個很重要的特性

就是

保守力沿著封閉路徑回到原點作功為零

回到剛剛的問題

保守力的「保守」究竟是什麼意思呢？

同學們可以這樣理解

只要保守力是沿著封閉路徑作功

也就是最後會回到原點

不管我們中間經過哪些地方

作功都會是零

這代表著總力學能不會改變

所以力學能是「守恆」的

因此保守力的保守

就是守恆的意思

我們來總結一下保守力的特性

第一個是對物體所作的功

只與起點和終點的位置有關與路徑無關

第二個是沿封閉路徑回到原點所作的功為零

這樣大家有沒有更瞭解保守力了呢？

我們再看另一個保守力的例子

有個彈簧一開始在平衡點

如果用手將彈簧向右拉長移動到位置R

此時彈力是kR

方向向左

這個時候彈力是作正功

還是負功呢？

因為彈力的方向跟位移的方向相反

所以彈力作負功

接下來

我們讓彈簧重新盪回平衡點

一開始彈力大小還是kR

方向向左

而位移方向也是向左

這個時候彈力是作正功

還是負功呢？

因為彈力方向跟位移方向相同

所以彈力作正功

大家有沒有發現

彈簧從一開始被拉長

再回到平衡點時

作的總功為零

所以彈力也是一種保守力

那生活中有哪些非保守力呢？

常見的非保守力有摩擦力

如果我們將一個木塊往右推一段距離

摩擦力與位移方向相反

作負功

此時如果再把木塊推回原點

摩擦力還是會與位移方向相反

一樣是作負功

總作功不等於零

所以摩擦力不是保守力

接下來

讓我們來練習一下

最後我們來看看

保守力作功會讓位能有什麼樣的變化？

假設現在有一顆球從高度h落下

重力會作正功Mgh

而位能則減少Mgh

如果我們把球往上拋則相反

重力作負功負Mgh

而位能則增加Mgh

因為重力作功與路徑無關

而且等於負的位能變化

所以我們可以畫出等位面

也就是說

即使物體的起點和終點在「空間上」的位置不同

只要位能變化一樣

重力作的功都相同喔

回到影片一開始的問題

如果從山頂出發

要如何計算滑到終點時的速度是多少呢？

想到了嗎？

我們可以透過等高線地形圖中

山頂跟終點兩點間的高度變化

計算出位能變化

也就能知道重力作功的大小

接著

再透過功能定理計算出動能增加的量

有了動能

我們就可以知道滑到終點時的速度是多少了

讓我們來總結一下這支影片學到的內容

首先

保守力對物體所作的功

只與起點和終點有關與路徑無關

因此

保守力沿封閉路徑回到原點所作的功為零

更精確來說

保守力作功等於負的位能變化

所以透過計算起點和終點的位能差

就可以得知保守力對物體所作的功

最後

考考你一個問題

湯木生曾做過一個有名的陰極射線管實驗

實驗的結果發現

陰極射線管可以產生高速移動的電子

這個高速移動的電子

甚至可以推動小風扇

那它們是如何產生的呢？

答案是電力作功

將電位能轉成電子的動能

那電力也跟重力一樣是保守力嗎？

又該如何驗證呢？

跟老師和同學們一起討論看看吧

我們下次見囉

bye bye~