小時候我們一定都玩過盪鞦韆 從靜止開始 手和大腿出力讓自己愈盪愈高 但是不知道你有沒有注意到 如果鞦韆就像平常在古董店看到的鐘擺 或是實驗室的單擺 它們來回擺盪的高度都相同 那為什麼鞦韆可以愈盪愈高呢？ 要回答這個問題 讓我們先來複習一下高一學到的力學能守恆 當物體只受均勻重力時 它的動能和重力位能的和會是一個定值 想像一顆靜止的球從高h的地方受重力吸引落下 一開始動能是0 位能是mgh 落下的過程中動能增加位能減少 落到地上時位能變成0 動能變成mgh 整個過程動能和位能的和不變 因此我們把動能加位能定義為力學能 這個特殊的性質稱為力學能守恆 那這個性質只適用於重力嗎？ 還是其他的力也可以呢？ 其實只要是保守力 就會有力學能守恆這個性質 我們可以由功能定理來證明 由功能定理可以知道 合力做的功等於動能的變化量 而保守力做的功 等於負的位能變化量 因此若系統只受保守力作功 它的動能變化就會等於負的位能變化 移項之後會發現 動能變化加位能變化等於零 也就是力學能變化等於零 由此證明了力學能守恆 重力是一種保守力 所以會有力學能守恆的性質 除了重力以外 彈力、電力等也都是保守力 所以遵守力學能守恆 讓我們來計算一個例題 單擺初始速度為0、高度 h 請問盪到最低處時速率是多少呢？ 我們知道在地表附近有均勻的重力場 g 忽略空氣阻力 所以單擺只受到重力和繩張力 由於物體的移動方向和繩張力方向垂直 繩張力不作功 只有重力作功 因此這個系統是力學能守恆 單擺初始速度為零 動能等於二分之一 mv平方等於0 球在高h的地方 因此重力位能是 mgh 盪到最低處時位能是零 由於系統遵守力學能守恆 因此動能是 mgh減零 等於mgh 由此即可解出單擺在最低處時的速度 等於根號2gh 學會力學能守恆之後 讓我們回來討論最開始的問題吧 為什麼鞦韆可以愈盪愈高呢？ 若遵守力學能守恆 盪鞦韆應該每次盪的高度都相同 甚至會因為摩擦力損失能量而愈盪愈低 盪鞦韆愈盪愈高顯然違反了力學能守恆 因此系統不只受到重力作功 假設有其他外力作功的情況下 我們可能使單擺愈盪愈高嗎？ 答案是肯定的 讓我們來觀察這個實驗 注意他手拉動的規則是 當鐵球盪經過中央最低點時拉上 至兩端最高點時下放 盪回來又經過中央最低點時再拉上…… 以此為週期持續拉動 為什麼這樣拉動可以增強擺幅 使單擺越盪越高呢？ 記得我們先前的討論 普通單擺受到兩個力的作用 重力以及繩張力 由於繩張力不作功 所以系統維持力學能守恆 但是在這個實驗裡面 繩張力有作功 因此違反力學能守恆 在最低點（A點）時拉上繩子 繩張力作正功 最高點（B點）時下放繩子 繩張力作負功 由於最低點的繩張力比最高點大 在拉動與下放同樣繩長的情況下 繩張力作的正功大於負功 能量不斷輸入這個單擺系統 擺錘因此就越盪越高了 你可能會問 我們在盪鞦韆的時候 並沒有外力不斷拉動繩子啊 我們又是如何把能量輸進系統的呢？ 想想看 我們和擺錘不同 是可以扭動身體或是施力的 那是否可以透過這些活動使得鞦韆愈盪愈高呢？ 回想一下小時候是怎麼盪鞦韆的 仔細觀察小朋友的腳 可以發現在盪到高處時把腳抬高 盪到最低處時把腳放低 再仔細觀察她的手 在最高處時出力使繩子彎曲成注音符號”ㄑ”字形 最低處時放鬆讓繩子伸直 這樣做有什麼好處呢？ 記得力學能等於動能加位能 如果可以加大最高與最低處的高度差 就可以增大位能 使鞦韆愈盪愈高 在最高處時腳抬高和彎曲繩子都可以使身體的重心變高 在最低處時把腳放低 並讓繩子伸直 則可以使重心盡量降低 這樣的動作使得重力位能的變化量mgh prime比一般單擺mgh 來的更多 因此每盪一次 都輸入位能差 4mg乘以H prime減H的能量進入系統 鞦韆因此愈盪愈高了 是不是很有趣呢？ 在這支影片中我們學習到 如果系統只受保守力作功 就會有力學能守恆的性質 也就是動能加位能會是定值 除了單擺以外 生活中還有哪些力學能守恆的例子呢？ 常見的例子有人造衛星環繞地球旋轉 由於只受重力作用 維持力學能守恆 另外還有傳統的機械手錶 可以規律的計時 是因為裡面有規律震盪的彈簧 由於只受彈力 一樣滿足力學能守恆 我們知道電力和磁力也是保守力 那麼有沒有力學能守恆的例子呢？ 有的 其中一個最常見的例子就是LC電路 他是由一個電容（C）以及一個電感（L）所組成 電容由兩片金屬板組成 當輸入電流時 電容兩邊會累積相反的電荷 產生電位差 電感則是一個線圈 當有電流流經螺旋線圈時 由於電流磁效應原理 會產生磁場 一開始電荷集中在電容兩端形成電位差 導致電流開始流動 電流流經電感產生磁場 當電流達到最大時 電容上的電荷全部流失完 且由於冷次定律 電感產生相反方向的感應電流 使得電流開始逐漸變小 電荷也逐漸在電容的相反邊累積 阻止電流持續流進來 最後電流變為零 電荷全部累積到電容的兩邊 形成電位差 開啟下一次的震盪 注意到了嗎？ 這個系統就像單擺一樣 電容累積最多電荷、電流為零的情況 就是單擺在最高位置 位能最大、動能為零 當電容上沒有電荷 電流最大時 對應到單擺在最低位置 位能為零動能最大 我們知道單擺的週期和重力加速度和擺長有關 那RLC電路的震盪週期和什麼有關呢？ 該如何做才能加大電路的震盪頻率？ 歡迎去尋找答案 並與老師、同學討論喔 我們下次見囉 bye bye