有沒有看過火舞表演呢？ 火舞表演者熟練的甩動流星鎚 真的讓人看了直呼過癮 仔細觀察會發現 在鉛直甩動的過程中 當流星鎚甩到最低點時速度最快、最高點時速度最慢 且表演者會在最低點時出最多的力 為什麼會這樣呢？ 在回答這個問題前 讓我們先複習一下之前學過的等速圓周運動 想像一個在光滑桌面上水平甩動的擺錘 由於擺錘只受繩張力作用 加速度方向指向圓心 而向心加速度不作功 因此擺錘的速度方向改變 但是大小不變 也就是動能不改變 向心加速度a的大小等於r分之v平方 當速度愈快、圓的半徑愈小 需要愈大的力才能改變擺錘的運動方向 如此一來 向心加速度也愈大 由於速度v等於角速度omega乘以r 所以向心加速度也等於omega平方 r 由於每個點的角度都一樣 繞一圈所需的時間T等於2pi除以omega 因此向心加速度也等於4pi平方r除以T平方 再來看鉛直圓周運動 此時的擺錘不只受繩張力作用 也受重力作用 如果畫出力圖會發現 重力在徑向上的分量和繩張力提供了向心加速度 這個力不作功 只用於改變擺錘的運動方向 而重力在切線方向上的分量平行於速度方向 因此會對擺錘作功 改變擺錘的速率 所以鉛直圓周運動是一種「變速率圓周運動」 當重力的切線分量與速度方向相同時 擺錘速率會增加 反之當重力的切線分量與速度方向相反時 擺錘速率會減小 由於速度大小會改變 因此每一點的向心加速度大小不同 要注意的是 由於角速度的大小會改變 繞一圈的週期不再等於2pi除以omega 因此向心加速度不等於4pi平方r除以T平方 該式只在等速圓周運動成立 而鉛直圓周運動的向心加速度可以由不同的力來提供 比如剛剛提到鉛直甩的擺錘 是重力加上繩張力 在鉛直圓周軌道上移動的台車 則是重力加上軌道施予台車的正向力 要怎麼算出每個點的速率是多少呢？ 由於正向力或繩張力指向圓心、不作功 物體只受重力作功 而重力是一種保守力 因此只要知道一個點的高度和當下的速率 透過力學能守恆 我們就可以算出物體在每個點的速率是多少 比如 我們知道小球在最低點A的速度是va 要算台車在B點的速率 就可以代入力學能守恆的公式 A點的動能加位能等於B點的動能加位能 由於A點的高度是0 位能等於0 B點的速度是根號vA平方減2ghB 由此可以發現 當球的高度愈高時 速度愈慢 因為在重力作功下 動能轉成位能 讓我們來計算一個例題 鉛直圓周軌道上的台車 若要駛過整個圓形軌道 在最高點釋放時的初速度 最小會是多少呢？ 首先我們知道台車只受兩個力作用 重力和正向力 在最高點時兩者都指向圓心 因此兩者的合力就是向心力 因為向心力等於mv平方除以r 如果台車的速度愈快 所需的向心力就愈大 由於重力等於mg 是一個定值 因此其餘的向心力就由正向力提供 當台車的速度愈慢 正向力就愈小 小到一個臨界值 正向力等於０ 此時重力剛好可以提供所需的向心力 當速度小於這個值 重力太大 台車就會脫離軌道 無法完成圓周運動 由於在最高點時的台車速度最小、所需正向力最小 只要這裡的速度大於臨界值 就能保證台車能完整完成整個鉛直圓周運動 現在我們就來計算這個臨界速度是多少 由於臨界時的正向力等於零 重力提供所有的向心力 mv平方除以r等於mg 因此速度v就等於根號rg 這就是可以讓台車可以完整繞軌道一圈所需的最小速度 回到最開始的問題 透過力學能守恆 可以知道流星鎚甩到最低點時速度最快 最高點時速度最慢 向心加速度等於速度平方除以r 由於最低點向心加速度是重力和繩張力的合力 且重力加速度都一樣 因此在最低點時要提供比最高點時更多的繩張力 下次有機會玩流星鎚的時候 試著甩甩看感受一下吧 來統整一下今天學到的重點 鉛直圓周運動的合力方向有兩個分量 徑向分量提供向心加速度、不作功 切線分量會作功 改變物體的運動速率 向心加速度等於速度平方除以r 等於角速度平方乘以r 但不等於4pi平方r除以T平方 由於物體只受重力作功 每個點的速率可以用力學能守恆計算 物體在最高點時的速度最慢 向心加速度最小 最低點的速度最快 向心加速度最大 最後 來考考大家一個問題 如果斜著甩流星鎚 繩張力的方向一樣指向圓心 但是重力就會有三個分量了 除了切向和徑向之外 還有一個是垂直於圓周面的力 球的運動軌跡 還會維持完美的圓形嗎？ 和同學討論看看吧 我們下次見囉 bye bye