同學們

小時候有在夜市玩過彈珠台嗎？

遊戲開始需要用力拉手桿

造成彈簧壓縮

放開手後彈簧隨即迅速彈回

推動彈珠

將彈珠彈射出去

彈珠會在一堆障礙中來回碰撞

最後落到其中一個格子裡

大家有沒有想過

為什麼一開始

要拉桿子壓縮彈簧呢？

彈珠被射出後

獲得的速度是多少？

彈珠的速度

跟拉桿子的用力多寡

又有什麼關係呢？

在回答這些問題以前

讓我們先來複習一下

之前學過的彈力

彈力是一種恢復力

抵抗外力造成的形變

虎克定律告訴我們

當固體材料受力之後

材料中的應力

與變形量之間為線性關係

以彈簧為例

當我們施力把彈簧向右拉

彈簧為了抵抗形變

會產生一個向左的彈力

當我們把彈簧向左壓縮

則會產生一個向右的彈力

拉伸或壓縮的距離愈大

彈力愈大

兩者呈正比關係

假設拉伸或壓縮的距離為x

彈力F等於負kx

我們把斜率k稱為彈性係數

k愈大的材料

在相同長度的形變之下

所產生的彈力愈大

由於彈力是一種變力

我們可以用畫力圖的方式

來計算作功

橫軸是拉伸的距離x

縱軸是彈力的大小負kx

因此線的斜率是負k

每拉伸一小段delta x

彈力就作功delta W

把每一小段加起來

就是線與橫軸之間的面積

這就等於彈力做的總功量值

二分之一kx平方

此時彈力作負功

當我們放開彈簧

彈簧受彈力作用

回到平衡點

這段彈回的運動過程中

彈力方向與位移方向相同

彈力作正功二分之一kx平方

由此我們可以發現

彈力作功只與起終點有關

與路徑無關

而且沿封閉路徑的作功為零

因此彈力是一種保守力

當我們等速拉動彈簧時

拉力和彈力平衡

等於kx

所以拉力做的功

等於負的彈力作功

也就是二分之一kx平方

同學們是否也好奇

這個能量到哪裡去了呢？

其實和重力作功一樣的概念

當我們把重物拿高所作的功

會以重力位能的形式儲存

拉伸或壓縮彈簧時

則是將能量

以彈力位能的形式儲存

換句話說彈力位能的變化

等於拉力作功

也就是負的彈力作功

等於二分之一kx平方

大家有注意到嗎？

彈力位能的變化

等於負的彈力作功

顯示彈力是一種保守力

跟重力一樣

要準確計算出彈力位能的大小

我們必須先定義零位面

一般定義在平衡點

也就是彈力為零的點為零位面

因此距離平衡點為x的位置

具有的彈力位能

等於二分之一kx平方

當我們畫出彈力位能

與位置的關係圖

會發現這是一條拋物線

位能是一種有作功潛力的能量

比如

當我們把一個

在光滑平面的台車拿高

能量會以重力位能的形式儲存

當它滑下時

位能轉成動能

再次滑向另一端

然後動能又可以轉成位能

由於重力是保守力

所以能量會在動能

與位能之間相互轉換

不會消失

同樣的

當我們拉伸一個彈簧

拉力作功

會以彈力位能的形式儲存

放開後

彈簧會來回震盪

運動過程中

彈力位能先轉換成動能

之後動能再轉成位能

由於彈力是一種保守力

當動能增加時

位能減少

動能減少時

位能增加

兩者的總和為一個定值

回到最開始的問題

彈珠台射出的彈珠

速度是多少呢？

要計算彈珠台射出

彈珠的速度

我們必須先測量

一開始拉伸的距離

根據二分之一kx平方的公式

可以計算儲存的彈力位能大小

當彈珠受彈力推動射出時

彈力位能全部轉成動能

也就是二分之kx平方

等於二分之一mv平方

我們可以透過這個等式

得到彈珠所能獲得的最大速度

除了計算

我們也可以做個實驗

使用儀器量測彈珠的最大速度

果然和理論計算的結果十分接近

實驗結果有些微的速度差

是來自於實驗誤差

比如彈珠與地面的摩擦力

讓我們來總結一下

這支影片的學習內容

彈力位能變化等於拉力作功

等於負的彈力作功

也就是二分之一kx平方

彈力位能的零位面一般定在平衡點

因此

彈力位能的大小

等於二分之一kx平方

x是與平衡點的距離

彈力是保守力

因此

彈力位能可以與動能相互轉換

兩者相加為定值

我們日常生活中看到的機械手錶

大多需要裝電池

以驅動分針、秒針移動

但也有一種不用電池的機械手錶

依靠人的活動和重力作功

再儲存成彈力位能

以此驅動手錶

甚至當我們拔下手錶後

仍可用儲存的彈力位能

運作約24小時

你能否也能想出

其他彈力位能有趣的生活應用呢？

與同學討論看看吧

我們下次見囉

bye bye