不知道你小時候有沒有看過利用彈簧彈跳的彈簧小丑 有沒有想過他可以跳多高呢？ 與他一開始起跳的速度又有什麼關係？ 在回答這個問題以前 讓我們先來複習一下之前學過的保守力 之前影片提過保守力有兩個性質 1、沿封閉曲線作功為零 2、作功只與起終點有關與路徑無關 考慮一個在光滑水平面上的彈簧 端點連接一個質量為m的方塊 當我們從平衡點壓縮x的距離 彈力作負功二分之一kx平方 放開時 方塊彈回平衡點 彈力作正功二分之一kx平方 彈力總作功為零 假設方塊的起終點位置為 x1、x2 彈力作功為二分之一kx2的平方減二分之一kx1的平方 只與起終點位置有關與路徑無關 因此水平簡諧運動滿足保守力的性質 由於水平簡諧運動也滿足保守力的性質 當我們壓縮並放開彈簧 彈簧會反覆運動 能量在動能與位能之間不斷轉換 不會消失 讓我們來觀察一下 當彈簧位於端點時 動能為零 位能為二分之一kR平方 所有力學能以位能的形式儲存 反之 當彈簧位於平衡點 動能為二分之一mv0平方 位能為零 所有力學能以動能的形式儲存 由於力學能守恆 二分之一kR平方等於二分之一mv0平方 因此當我們知道最大速度為v0時 最大伸長量R等於根號m除以k再乘以v0 反之 當我們知道最大伸長量為R 就可以推算最大速度v0等於根號k除以m再乘以R 而當彈簧位於其他位置時 力學能等於動能加位能 為一定值 若把動能、位能、力學能的變化畫成圖 可以看到位能在兩端點最大 動能在平衡點最大 兩者呈現相反的拋物線 而力學能為兩者相加 處處為定值 讓我們來練習計算一道例題 算好答案了嗎？ 由於端點的動能為零 位能為二分之一kR平方 因此總力學能是二分之一kR平方 在二分之一R處 假設動能是大K 則此處的位能與總力學能如畫面所示 由於力學能守恆 二分之一R處的動能加位能會等於端點的動能加位能 因此 動能大K會等於八分之三kR平方 而剛剛已經算出二分之一R處的位能 因此動能為彈力位能的3倍 接下來讓我們考慮 鉛直簡諧運動的力學能守恆 考慮一個上方固定的彈簧 當懸掛一個質量為m的重物時 會伸長s0 此時重力與彈力平衡 由於此時彈簧靜止 合力相加等於零 我們假設此位置為新的平衡點 由於重力和彈力都是保守力 這個系統也符合力學能守恆 當我們把重物下拉R的距離後放開 它會以新平衡點為中心 上下來回反覆的運動 在端點時速度為零 平衡點時有最大速度 和水平簡諧運動十分相似 讓我們來推導一下此系統的力學能守恆一般式 是否和重力位能有關係呢？ 假設彈簧在平衡點時重力位能等於零 總力學能E包含動能 彈力位能和重力位能 當物體距離平衡點為x時 動能為二分之一mv平方 彈力位能等於二分之一k乘以x加s0的平方 重力位能等於負mgx 由於重力與彈力平衡 最後兩項可以抵銷 得到總力學能的關係式 如畫面所示 讓我們考慮兩個極端位置 物體在端點時 x等於R 速率v等於0 因此力學能如畫面所示 當物體位於平衡點時 x等於0 速率為最大值 因此力學能如畫面所示 由於二分之一ks0平方是一個定值 處處不變 且能量的零位面可以任意定義 因此可以把總力學能的零位面上移 使力學能守恆方程式變成畫面上的形式 因此 在考慮鉛直簡諧運動時 只要定義平衡點為重力位能的零位面 力學能就等於動能加上彈力位能 與水平簡諧運動的形式相同和重力無關 這是很重要的結論 讓我們回答片頭的問題 假設小丑下方連結的是一個彈性係數為k的彈簧 其質量為m 當他只是做微微上下來回震盪 沒有跳離地面時 其實就是一個鉛直簡諧運動的系統 但與上面討論唯一的不同點 是物體由彈簧的下方移到上方 當定義平衡點為重力位能的零位面時 仍然遵守力學能守恆 如畫面所示 因此當彈簧小丑由平衡點起跳的速度是v0 根據力學能守恆 可以跳到的高度R等於根號m除以k再乘以v0 和起跳的速度成正比 因此起跳的速度愈快 就可以跳愈高 讓我們來統整今天學到的重點 水平簡諧運動是一種保守力 因此滿足力學能守恆 水平簡諧運動的力學能守恆方程式 可以寫成畫面上的形式 鉛直簡諧運動受到重力和彈力作用 一樣滿足力學能守恆 且若定義平衡點為重力位能的零位面 力學能守恆方程式和水平簡諧運動相同與重力位能無關 當我們看彈簧小丑跳躍的影片 會發現他的彈簧不是固定於地面 因此當他起跳的速度很快 使得R大於s0時 會跳離地面 由於此時彈簧已經離開地面 且不考慮彈簧質量 只有單邊連接物體的彈簧 不會有任何形變 也就是彈力位能等於零 此時要怎麼計算彈簧小丑實際可以跳多高呢？ 由於此系統只受到重力和彈力作用 滿足力學能守恆 假設平衡點時重力為零 起跳速率為v0 力學能如畫面所示 跳到最高點時動能和彈力位能都等於零 力學能等於重力位能 由於重力與彈力平衡 根據力學能守恆可得到畫面上的式子 得知最高點和起跳速度 彈簧小丑的質量以及彈簧的彈力係數有關 透過此關係式 你能否藉由調整小丑的質量和彈力係數 設計出可以跳最高的彈簧小丑呢？ 與同學討論看看 我們下次見囉 bye bye