不知道你有沒有這樣的經驗

在城市使用網路都沒問題

但是一到山上或是偏遠的地區

訊號就變得很弱？

這是因為在這些地區沒有足夠的基地臺

無法有效接收和發送訊號

星鏈計畫就是為了解決這個問題

這個計畫決定不在地表建設基地臺

而是外太空

星鏈計畫要在地球的外圍佈置4萬2千顆小衛星

這樣就可以讓我們在世界各個角落都享受低延遲的網路服務

但如果要把這些衛星發射到距離地表約1000公里的高度

需要多少能量呢？

在回答這個問題以前

讓我們先複習一下地表附近的重力位能

在地表附近

重力加速度的大小可以視為一個定值

如果要把一個物體發射到h的高度

過程中重力與位移方向相反

重力作功為負的mgh

所以發射所需最小能量是mgh

在最高點時以位能的形式儲存

位能增加mgh

但是當物體發射的越來越高

重力加速度的大小不再是一個定值

而是會隨著距離地心越來越遠

數值變得越來越小

所以位能的計算需要重新考慮重力加速度的變化

牛頓的萬有引力定律告訴我們

兩兩物體之間存在萬有引力

與物體質量成正比

與距離平方成反比

可以寫成負GMm除以r平方

重力加速度等於GM除以r平方

M是地球質量

r是物體與地心之間的距離

在地表附近時

r約等於地球半徑

計算後求得重力加速度約等於9.8公尺除以秒平方

但是當物體遠離地表附近

重力加速度不再等於9.8

而是會隨著離地心的距離越來越遠

而越來越小

所以當需要考慮重力加速度或稱重力場

不是固定大小的情況

我們稱為非均勻重力場問題

假設在地表丟一顆球

丟的越高所需能量越多

儲存的重力位能也越多

同樣的

發射衛星

發射的越遠

所需能量越多

位能也越大

如果我們要計算把衛星發射到距離地心r位置所需要的能量

就必須算出衛星在地表以及在r處的位能

它們的位能差就是發射所需要的能量

可是這個過程我們必須考慮

不只距離會有所變化

重力的大小也會變化

所以重力位能的計算就會是個變力作功問題

就需要畫出F-x圖

那麼在非均勻重力場

重力位能要如何表示呢？

如果把衛星發射到最遠

也就是無限遠

重力作功是負的

看到F-x圖底下的面積

經過積分計算

得到重力作功等於負的GMm除以r

假設無限遠的位能等於零

在位置r處的重力位能就等於負的GMm除以r

讓我們回到最一開始的問題

如果要把重250公斤的星鏈衛星

由地表發射到距離地表1000公里遠的位置

需要多少能量呢？

地球半徑約為6400公里

發射前後的位能差等於負GMm除以7400公里

減負GMm除以6400公里

代入地球質量

6乘以10的24次方公斤

以及衛星的質量：250公斤

可以得到發射一顆衛星需要的最少能量

是2.11乘以10的9次方焦耳

約等於一架波音747客機飛行4到5公里所需的能量

星鏈計畫總共有4萬2千顆小衛星

這樣算下來

整個計畫所需的能量

甚至超過廣島原子彈爆炸所釋放的能量

是不是很可觀呢？

讓我們來統整今天的學習

如果物體不在地表附近

重力加速度不再是一個定值

根據萬有引力定律GMm除以r平方

重力加速度的大小隨著與地心的距離越遠

而越來越小

重力位能等於負的力與位置圖底下的面積

定義無窮遠處重力位能為零

距離地心r處的重力位能就等於負GMm除以r

在結束之前

考考大家一個問題

為何科學家想要把月球作為未來太空旅行的發射站呢？

今天我們學習到

重力位能等於負GMm除以r

因此星球質量M越小

半徑r越大

發射所需能量越小

如果從地表發射一顆重1000公斤的火箭到無窮遠處

需要6.27乘以10的10次方焦耳

若從月球發射

只需要2.83乘以10的9次方焦耳

差了22倍

從月球發射真的可以節省許多能量

不過要建立發射站

先要在月球建立可以長久居住的基地

能源的開採也是個問題

要如何解決這些問題呢？

可以與同學討論看看喔

我們下次見囉

bye bye