在「重力位能一般式」影片中 提過星鏈計畫 要發射4萬多顆人造衛星 這些在1000公里高處的人造衛星 可以不受地理限制地傳輸與發送訊號 但你有沒有想過 這些人造衛星為何可以穩定環繞地球運動 不會掉下來？ 你可能會想 是因為做圓周運動啊！ 沒錯 但我們今天要從能量的角度來看這件事 又有什麼要注意的點呢？ 記得我們之前學過 當物體只受重力作用 就滿足力學能守恆的性質 比如在U形軌道上讓一臺滑車自由滑下 如果忽略摩擦力 滑車只受重力作用 就會在軌道上來回運動 力學能在動能與重力位能之間互相轉換 不會消失 在遠離地表的情況 比如行星和衛星 它們依然只受重力作用 所以仍然滿足力學能守恆的性質 這就是為什麼它們可以一直穩定地運動 接下來就以力學能守恆的能量觀點 來看待衛星以圓周運動時的動能與位能關係 想像有一個質量為m的衛星 繞著質量為M的地球 以R為半徑作圓形軌道運動 它所需要的向心力 由地球的重力提供 重力大小和向心力大小如畫面所示 因此可以推導出 mv平方等於GMm除以R 由於動能等於二分之一mv平方 因此衛星的動能大小等於 GMm除以2R 從「重力位能一般式」影片 我們學到在非均勻重力場中 假設無限遠的地方重力位能為零 衛星在距離地心R處的位能等於負GMm除以R 剛剛算出動能等於GMm除以2R 而力學能等於動能加位能 等於負GMm除以2R 由於衛星只受重力作用 系統維持力學能守恆 因此衛星的力學能不會改變 由這個式子我們會發現 軌道越接近地球的衛星R較小 力學能因為負的比較多 所以數值較小 反之 軌道離地球越遠的 力學能越大 如果我們要把衛星在不同的圓形軌道之間移動 必須施加或取走能量 而這個能量的大小就是軌道之間力學能的差 這裡要注意的是 當衛星作圓形軌道運動 它離地球的距離處處相等 繞地球的速率也維持定值 因此位能和動能的大小都維持固定 力學能當然也維持定值 但是力學能守恆 並不保證位能和動能都維持定值 就像在U形軌道上移動的滑車 往高處移動時位能增加、動能減少 往低處移動時 儲存的位能又轉換為動能 但是過程中 力學能都維持不變 那遠離地表的衛星 有沒有可能走其他的軌道 是位能和動能會改變 但力學能維持不變的呢？ 答案是肯定的 想像從地表垂直向上發射一支火箭 等燃料用盡 火箭就會掉下來 如果有一條穿過地心的隧道 這支火箭就會一路加速掉到地心 再慢慢減速 從地球的另一端出來 接著速度又變回零 反向掉回來 再次穿過地心到達這一端 如此往復震盪 在地心時動能最大、位能最小 在地球兩端時動能最小、位能最大 力學能在動能與位能之間相互轉換 沒有消失 如果是環繞地球運行的軌道 也不一定要是圓形 如果把衛星推一下 讓速度變快 軌道會變成一個更大的橢圓形 相反 如果把衛星減速 軌道會變成小橢圓形 從剛剛的例子中 你會發現位能、動能不停改變 不容易掌握其規律 但是唯一不變的 是當它們只受重力作用 就都會滿足力學能守恆的性質 呈現規律的運動軌跡 所以力學能是我們在掌握衛星運動時的重要觀點 讓我們回到最開始的問題 人造衛星為什麼可以規律環繞地球運行呢？ 是因為它只受重力作用 因此滿足力學能守恆 但其實在現實世界中 因為衛星運行的軌道太過靠近地球 會受到大氣層的摩擦力作用 力學能損失 衛星的運行速度越來越慢 也因此會離地球越來越近 為了讓衛星維持在原本的軌道運行 衛星需要定期啟動發動機 為自身施加推力 不然發射上去幾萬顆的人造衛星 最後都會變成人造流星雨掉回地球了 最後來整理一下今天的學習重點吧！ 在圓形軌道運動中 位能等於負GMm除以R 動能等於GMm除以2R 因此力學能等於負GMm除以2R 能量不會消失 若物體只受重力作用 就能滿足力學能守恆性質 而呈現規律的運動軌跡 不知道大家有沒有注意到 2022年8月底的新聞 美國太空總署NASA 宣佈啟動重返月球的阿提米絲計畫 這次不只是要送人上月球 更要在月球上建立基地站 以減少發射時要抵抗的重力位能 讓太空梭更方便地前進到包括火星在內的其他行星 但大家有沒有想過 除了增加發射時的動能 以及減少出發時的重力位能以外 還有沒有其他方式呢？ 依據剛剛的學習 要讓太空梭飛得很遠 就要增加它的力學能 我們也可以借用其他行星的重力 幫太空梭加速 當太空梭在飛行的過程中接近其他行星 會受到行星的重力吸引 如果吸引的方向與太空梭的飛行方向相同 就可以幫太空梭加速 這個加速的過程 就像彈弓發射石頭一樣 所以稱為重力彈弓效應 如此就可以讓太空梭更快抵達目的地 但要讓太空梭在飛行的過程中遇到其他天體 比如木星或土星 需要準確計算發射的時間、角度和速度 你要怎麼設計才能讓太空梭最快抵達太陽系邊緣呢？ 與同學討論看看 歡迎分享你們的想法喔 我們下次見囉！bye bye