在歐美國家 常常會有使用長梯修繕屋頂或是節日前 使用長梯在家中高處進行佈置的需求 但是 梯子的擺放位置要非常注意 若是長梯底部離牆壁太遠 爬到高處時長梯會向後滑而發生意外 可是 為什麼長梯的底部不能離牆太遠呢？ 要能夠安全的使用長梯 我們必須以長梯為分析的主體 去討論使用長梯時 長梯是否符合靜止不動的條件 當我們說一個物體靜止不動 我們指的是物體沒有移動 也沒有轉動 什麼情況下物體能不移動呢？ 像一個木塊 同時受一個向左10牛頓及向右10牛頓的外力 木塊受合力為零 木塊若原本是靜止的 就能保持不移動 我們稱木塊處在移動平衡的狀態 若是思考一個平衡的翹翹板的情況 翹翹板在與中心點相同距離的左右兩側 分別坐了兩個重量皆為20公斤重的小朋友 此時翹翹板不會翹起來 也就是不會轉動 代表的是翹翹板所受的合力矩為零 我們稱翹翹板處於轉動平衡的狀態 討論使用長梯的安全性之前 我們利用小型起重機 把物體安全懸吊在空中的情況 來幫助我們了解使物體靜止不動的條件 我們將問題先簡化成 有一質量20公斤之吊桿由轉軸固定於牆上 重物的質量是50公斤 由繩子懸吊靜止在半空中 繩子連接吊桿的另一端 而吊桿則由鋼索水平固定於牆上 若水平的鋼索長度為2公尺 鋼索固定於牆上的位置與轉軸距離為1公尺 50公斤的重物以及吊桿都靜止不動 我們先選擇以50公斤的重物為分析的對象 我們可以先將重物的力圖畫出來 重物受到重力以及繩子的張力 重物不移動 所以合力為零 重力與繩張力大小相等 方向相反 可以得知懸掛重物的繩子繩張力T1等於50公斤重 重物也沒有轉動 我們以重物的重心為支點 可以發現繩張力與重力的作用線都通過支點 所以繩張力與重力都不對重物造成力矩 故重物所受的合力矩為零 符合轉動平衡的條件 接著 我們以吊桿為分析對象 畫出吊桿的力圖 吊桿受到重力 繩張力T1 鋼索的張力T2 轉軸給予的力F 我們將轉軸給吊桿的力分為 水平分量為Fx及鉛直分量Fy 吊桿不移動 所以吊桿合力為零 我們可分成水平方向及鉛直方向列式 水平方向 T等於Fx 鉛直方向 20公斤重加50公斤重等於Fy 只有合力為零這個條件 我們無法得知鋼索的張力 以及轉軸給的水平作用力 所以我們還需要考慮另一個條件： 吊桿不轉動 吊桿的合力矩為零 我們以轉軸作為支點 寫出各個力造成的力矩 首先 我們討論吊桿重力造成的力矩 計算力矩時 我們以力乘以力臂的方式計算 而找力臂的方式是 先將力的作用線延長 再從支點找出到力作用線的垂直距離 所以重力造成的力矩為 20乘以1 為順時針方向 接著我們來計算繩張力T1產生的力矩 我們一樣先找力臂 所以繩張力T1造成的力矩為 50乘以2公斤重乘公尺 為順時針方向 接著我們來看鋼索張力T2造成的力矩 先找T2的力臂 將力的作用線延長 從支點到作用線的垂直距離就是力臂 所以鋼索張力T2造成的力矩為 T2乘以1公斤重乘公尺 為逆時針方向 最後 我們來看轉軸給吊桿的作用力造成的力矩 因為Fx及Fy的作用線都通過支點 所以力臂都是0 轉軸的作用力不對吊桿造成力矩 列出了所有的力造成的力矩後 我們就可以列出合力矩為零的式子 順時針方向力矩總和等於逆時針方向力矩總和 這樣 我們就能知道鋼索張力T2的大小了 像吊桿一樣 靜止不動 同時符合移動平衡與轉動平衡的情況 我們會說吊桿達到靜力平衡 當一個物體達靜力平衡 需要求出某些未知力時 我們就能使用剛剛的分析方式來寫出已知條件 我們整理一下分析的過程 步驟1：選擇系統 步驟2：畫出力圖 步驟3：列出靜力平衡條件 包含合力為零： 水平方向：T2等於Fx 鉛直方向：20公斤重加50公斤重等於Fy 以及合力矩為零 順時針方向力矩總和等於逆時針方向力矩總和 步驟4：求出未知的力 讓我們使用剛剛講的分析步驟來練習分析新的情況 先以重物為分析對象 重物達靜力平衡 所以懸掛重物的繩張力T1等於300牛頓 再以水平桿為分析對象 水平桿達靜力平衡 合力為零 合力矩也是零 合力為零 水平方向 Fx等於T2乘以cos37度 鉛直方向 Fy加T2乘以sin37度等於150加300 合力矩為零以轉軸為支點 150乘以2加300乘以4等於T2乘以4乘以sin37度 等於300加1200等於T2乘以12除以5 可算出T2等於625牛頓 再代入合力為零的式子 可以算出Fy等於75牛頓 最後 我們利用剛剛學到的方法 來分析影片最一開始的問題 為什麼使用長梯時梯子底部不可離牆壁太遠 否則梯子會向後滑產生安全的問題呢？ 我們考慮人站在長梯的頂端 距離地面高度為h的位置 而長梯底部距離牆面為a 長梯與牆之間是光滑無摩擦力的接觸面 我們以人與長梯為分析的對象 人與長梯受到的力有人的重力 長梯的重力 牆壁給的正向力以及地面給長梯的正向力與摩擦力 因此 我們將力圖畫出如畫面所示 列出合力為零的條件 鉛直方向 W人加W梯等於N2水平方向 N1等於fs 以梯子與地面接觸點為支點 列出合力矩為零的條件 N1乘以h等於W人乘以a加W梯乘以1除以2a 由合力矩為零的條件可知 若a愈大 則N1必須要愈大才可能平衡 但梯子又必須同時滿足合力為零的條件 也就是a愈大 N1愈大 同時fs也必須愈大 但fs是地面與梯子之間的靜摩擦力 靜摩擦力有最大值 為最大靜摩擦力 若需要的摩擦力大於最大靜摩擦力 則梯子就無法平衡 所以當梯子底部離牆壁太遠時 梯子無法達到平衡 梯子底部會向後滑動 站在梯子上的人就會發生意外 若是需要使用長梯時 記得要注意長梯底部擺放的位置喔！ 我們來整理今天學到的重點吧！ 靜力平衡條件為物體靜止 合力為零且合力矩為零 靜力平衡的解題步驟為 步驟1：選擇系統 步驟2：畫出力圖 步驟3：列出靜力平衡條件 步驟4：求出未知的力 最後邀請你想一想 動物園中 有一根長3公尺 重量240牛頓的均質桿子 兩端由繩子懸掛於兩顆樹之間 有一隻重量90牛頓的猴子 靜止不動地懸掛在離桿子右端0.5公尺的位置 則左端的繩張力為何？ 歡迎分享你的想法 我們下次見囉！ bye bye