在高中時代

有一個重頭戲是要到靶場打靶

讓我們體會實彈射擊

進入靶場後

教官會非常嚴肅的告誡我們

要遵守各項安全規定

以免發生危險

其中

最危險的莫過於被不長眼的子彈擊中

子彈的速度之快

很少有人可以直接用肉眼

或是用相機觀察

但是教官卻告訴我們子彈的速度

大約是每秒200公尺

教官是怎麼知道的呢？

我們可以用什麼方法

來測量子彈的速度呢？

在回答這個問題之前

我們先來看一個簡單的例子

在公園裡常常會看到小孩在玩滑板車

一開始滑板車會向前移動

這時小孩會跑上滑板車

與滑板車兩個一起前進

請問小孩跑上滑板車之後的速度

要如何計算呢？

我們先來分析一下

人跑上滑板車的運動過程

假設一開始小孩的速度為V1

滑板車的速度為V2

碰撞之後兩者合為一體的速度為V prime

而這種碰撞後兩個物體合為一體的碰撞

則稱為完全非彈性碰撞

要計算碰撞之後的速度

我們可以用到動量守恆定律

也就是在沒有外力的情況下

碰撞前、後系統的動量守恆

假設小孩的質量為m1

滑板車的質量為m2

所以碰撞前、後的總動量如畫面所示

因為動量守恆的關係

碰撞前與碰撞後的動量相等

所以

我們可以計算出碰撞後的速度

如畫面所示

我們也可以用V-t圖來分析一下

小孩與滑板車的速度變化

一開始小孩與滑板車

分別以V1及V2的速度前進

在碰撞之後

整個系統會變成質心速度

也就是藍線跟紅線會重合

另外

我們知道在非彈性碰撞中

物體的動能會轉變成熱能或是聲能

所以整體的力學能會下降

我們可以用數學的方式來計算這個結果

碰撞前的總動能是2分之1的m1

乘以V1平方

加上2分之1的m2乘以V2平方

碰撞後的總動能是2分之1的總質量

乘以質心速度的平方

我們把兩個相減就可以計算出

碰撞前後的動能變化

經過一番計算之後

我們發現兩者相差2分之1的m1m2

乘以V1減V2的平方除以m1加m2

如果大家有興趣可以驗算看看

由於平方項恆大於零

所以我們知道

碰撞前的總動能永遠大於碰撞後的總動能

也就是碰撞之後動能會減小

所以非彈性碰撞的總動能會減小

大家有沒有發現小孩的速度變化

比上滑板車的速度變化是1比2呢？

這個答案是不是剛好跟質量成反比呢？

為什麼會這樣呢？

其實這可以從質心的角度來理解哦

我們可以來計算一下

小孩與滑板車相對質心的動量

對小孩而言為相對質心速度乘以質量

為1乘以24等於24

而對滑板車而言則為負2乘以12也為負24

我們可以發現

碰撞前兩者相對於質心的總動量為零

而碰撞後兩者速度等於質心速度

所以相對於質心的總動量也是零

也就是說碰撞前後總動量不變

這符合不受外力的系統質心總動量不變

所以相對速度與質量成反比

是因為質心總動量不變的緣故喔

最後來回答一開始的問題

我們要如何知道子彈的速度呢？

首先介紹一種特殊的裝置

衝擊擺

衝擊擺的原理非常簡單

當子彈打進擺錘時

子彈會固定在擺錘內不動

並且擺錘會因為子彈的衝力而向上擺盪

要知道子彈一開始的速度

我們可以透過擺錘擺盪的高度來回推

首先根據力學能守恆

擺錘擺到最高點時

所有的動能會轉變成重力位能

假設擺錘的質量為大M

子彈的質量為小m

最高點的高度為h

重力加速度為g

可列出公式如畫面所示

其中Vc是子彈與擺錘的質心速度

經過簡化後可以知道

質心速度Vc等於根號2gh

知道了質心速度之後

我們要如何知道一開始的子彈速度呢？

因為子彈碰到擺錘的時候沒有受到外力

所以我們可以用動量守恆定律

碰撞前的動量為小m乘以子彈速度V0

加上大M乘上擺錘速度0

碰撞後的動量為大M加小m

乘以質心速度Vc

這兩個量相等

所以計算出V0如畫面所示

再從上面得到「Vc等於根號2gh」代入

就可以回推子彈的速度V0

我們來複習一下今天學到的內容吧

在碰撞的過程中動量會守恆

根據動能是否守恆可以分為

彈性碰撞

碰撞後動能不變

非彈性碰撞

碰撞後總動能不變或減少

完全非彈性碰撞是兩者碰撞後黏在一起

速度一樣

總動能減少最多

學完了非彈性碰撞之後

我們來想一想

有哪些因素會讓碰撞變成非彈性呢？

是否跟物質的材料有關呢？

歡迎留言分享你的想法

我們下次見囉

bye bye