你曾經試過手握水管時 用大拇指抵住水管口嗎？ 是不是感覺 拇指要用力才能不讓水流出來 如果水開得越大 你就要越用力 這是為什麼呢？ 我們在前一個單元學到 氣體是由 大量隨機運動的理想氣體分子組成 當氣體分子在容器內快速地運動 氣體分子與氣體分子 以及氣體分子與器壁之間 發生完全彈性碰撞 當氣體分子對器壁施力F 這個力有多大呢？ 根據牛頓第三運動定律 氣體對器壁的作用力大小 等於器壁對氣體的作用力大小 F等於氣體分子的動量變化 除以氣體分子撞擊器壁的時間 而氣體壓力P就是F除以作用面積A 此時 盒子裡有很多顆氣體分子 輪流碰撞器壁 每顆的速度、運動方向都不一樣 撞到器壁的瞬間也不同 要如何估計撞到器壁的力呢？ 我們先試著從 棒球九宮格遊戲來思考看看 丟球的速度更快 兩顆球打到同一個板子 丟完一顆再馬上連續丟出另一顆球 是不是都會讓板子更容易掉下？ 如果把棒球想像成氣體分子 將板子想像成容器的器壁 立方體容器的邊長為L 因為氣體分子的運動方向隨機 先簡化一點 假設氣體分子沿著x軸的方向運動 當一顆氣體分子 用vx的速度撞上器壁 假設氣體分子和器壁 發生完全彈性碰撞 則氣體分子會用負vx的速度 反彈回去 如果氣體分子 與器壁的接觸時間是delta t 那麼器壁給氣體分子的作用力F 就是動量變化delta p 除以接觸時間delta t delta p等於氣體分子的質量m 乘以速度變化delta v 除以delta t 速度變化delta v等於負vx減vx 等於負2vx 所以氣體給器壁的作用力F 就是2mvx除以delta t 在容器裡面有非常多的氣體分子 撞在器壁上 每次撞擊都對器壁施力 將所有撞擊在 器壁上的氣體分子的作用力 都加起來 就可以算出氣體壓力 但是如果要將全部的作用力 直接相加 表示這些容器裡 全部的氣體分子 是同時撞在器壁上的 這樣所有氣體分子一瞬間 一起撞擊到器壁上加起來的力很大 但撞完下一秒又都沒有撞擊器壁 那下一秒在器壁上就沒有作用力 也就沒有壓力了 實際上 氣體分子是輪流撞擊在器壁上 這些氣體分子們 陸陸續續撞擊到器壁 才能形成時時刻刻 都存在的氣體壓力 如果要考慮這些 陸續撞擊的氣體分子 造成的作用力 因為不是同時撞到 所以不能直接相加 那該怎麼計算呢？ 一個氣體分子撞器壁施力 離開器壁以後 直到下次再撞到之前 這段時間 其實沒有對器壁施力 下次再施力是氣體分子 再次撞到器壁時 向左移動再回來 撞到 這個氣體分子 沒有撞到器壁的這段時間裡 是其他氣體分子在對器壁施力 像F2這個力 氣體一樣來回運動 一趟才施一次力 和F3來回施一次力 所以一顆氣體分子 來回一趟的時間區間裡 貢獻的平均作用力F 是一個氣體分子的動量變化 除以來回一趟的時間 來回一趟的時間delta t 是來回的路徑長2L 除以速度vx 所以一顆氣體分子對器壁的作用力 平均來說如畫面所示 所有氣體分子各自運動一段時間 造成的平均作用力相加 我們用sum符號表示加總 用i表示每個不同氣體分子的編號 因為 每一顆氣體分子的速度 不一定相同 所以速度和作用時間 都要加上下標i 那麼所有氣體分子 陸陸續續造成的總作用力 就可以表示如畫面 因為容器裡的氣體分子太多了 總共有N個 速度也都不一樣 我們將這些速度 取一個平均速度來代表 就是將所有的v1x平方 v2x平方 一直加到vNx平方 全部加起來除以N 等於vx平方bar 代回上面的式子 就可以得到 所有氣體分子的平均作用力總和 如畫面所示 前面我們假設速度方向都沿著x 但其實不是只有水平沿著x軸 而是有各種不同的速度方向 撞上右方器壁 所以 任意一個氣體分子的速度 應該是v 這個v是由vx vy和vz 三個分量組成的 它們的數學關係式 如畫面所示 就像在平面上 v平方 等於vx平方加vy平方 在空間中 就再將z方向的分量平方 加上去就可以了 因為總共有N個氣體分子 我們對N個氣體分子的v平方 取平均 就會是所有氣體分子的v平方 相加除以N 然後每一個氣體分子的速度 又等於vx平方 加vy平方 加vz平方 我們把三個也都取平均 就可以得到v平方的平均 就等於vx平方 vy平方和vz平方的平均相加 由於容器裡面的氣體分子 數量非常多 我們假設這些氣體分子 往各個方向運動的機率都相同 這樣往x、y、z三個方向 運動的機率都一樣大 所以vx平方 和vy平方 和vz平方都相等 將原本式子中的vx、vy、vz 用vx取代 就會得到v平方的平均 等於3個vx平方的平均 將這個結果 代回器壁受力的式子 當整個容器裡的氣體分子 平均起來用這個速率運動 那麼器壁受到的平均總作用力 就如畫面所示 因此 氣體分子撞擊器壁造成的壓力P 是所有這些氣體分子 撞擊器壁的平均作用力 除以器壁的面積L平方 得到結果如畫面所示 其三次方剛好就是容器的體積V 所以我們可以得到 容器裡的氣體壓力P公式 如畫面所示 回到影片開始的問題 為什麼拇指抵住水管口時 會感覺水想把手推出去呢？ 這是因為拇指抵住水管口 水分子沒有地方可以去 水分子數量越來越多 壓力就越來越大 如果把水龍頭開得更大 表示水分子的速度更快 撞擊拇指的力量也會變得更大 我們在這個單元 學到了哪些新概念呢？ 氣體分子在容器內 隨機運動各方向的機率相等 氣體作用力 是一段時間中許多氣體分子 輪流撞擊的平均作用力加總 壓力是一段時間中 作用在整個器壁上的總作用力 除以器壁面積 壓力與氣體分子的運動速度 質量、分子數有關 有一種很有趣的玩具 稱為熱輻射計 只要對著這個玩具照光 它就會旋轉起來 光越強、轉得越快 這是為什麼呢？ 歡迎在下方留言 分享你的想法哦 下次見囉 bye bye